Qué (quién) es permutación - definición

En matemáticas, una permutación de un conjunto es, en términos generales, una disposición de sus miembros en una secuencia u orden lineal, o si el conjunto ya está ordenado, una variación del orden o posición de los elementos de un conjunto ordenado o una tupla. La palabra "permutación" también se refiere al acto o proceso de cambiar el orden lineal de un conjunto ordenado.^[1]​

Las permutaciones difieren de las combinaciones, que son selecciones de algunos miembros de un conjunto sin importar el orden. Por ejemplo, escritas como tuplas, hay seis permutaciones del conjunto {1, 2, 3}, a saber (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) y (3, 2, 1). Estas son todas las ordenaciones posibles de este conjunto de tres elementos. Los anagramas de palabras cuyas letras son diferentes también son permutaciones: las letras ya están ordenadas en la palabra original, y el anagrama es una reordenación de las letras. El estudio de las permutaciones de conjuntos finitos es un tema importante en los campos de la combinatoria y la teoría de grupos.

Las permutaciones se utilizan en casi todas las ramas de las matemáticas y en muchos otros campos de la ciencia. En informática, se utilizan para analizar algoritmos de ordenación; en física cuántica, para describir estados de partículas; y en biología, para describir secuencias de ARN.

El número de permutaciones de n objetos distintos es n factorial, normalmente escrito como n!, que significa el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a n.

Técnicamente, una permutación de un set S se define como una biyección de S a sí mismo. ^[2]​^[3]​ Es decir, es una función de S a S para la cual cada elemento ocurre exactamente una vez como un valor de imagen. Esto está relacionado con el reordenamiento de los elementos de S en el que cada elemento s es reemplazado por el correspondiente f(s). Por ejemplo, la permutación (3, 1, 2) mencionada anteriormente es descrita por la función ${\displaystyle \alpha }$ definida como

${\displaystyle \alpha (1)=3,\quad \alpha (2)=1,\quad \alpha (3)=2}$.

El conjunto de todas las permutaciones de un conjunto forman un grupo llamado grupo simétrico del conjunto. La operación de grupo es la composición (realizar dos reordenamientos dados sucesivamente), que da como resultado otro reordenamiento. Como las propiedades de las permutaciones no dependen de la naturaleza de los elementos del conjunto, suelen ser las permutaciones del conjunto ${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$ las que se consideran para estudiar las permutaciones.

En combinatoria elemental, las k-permutaciones, o permutaciones parciales, son los arreglos ordenados de k elementos distintos seleccionados de un conjunto. Cuando k es igual al tamaño del conjunto, son las permutaciones del conjunto.