Англо-русский словарь и русско-английский словарь онлайн

Создать акаунт
Где искать:
Толковые словари
Большая советская энциклопедия

Результаты поиска (1-15 из 23)

Механика Искать примеры произношения

, наука о механическом движении материальных тел и происходящих при этом взаимодействиях между телами. Под механическим движением понимают изменение с течением времени взаимного положения тел или их частиц в пространстве. Примерами таких движений, изучаемых методами М., являются: в природе - движения небесных тел, колебания земной коры, воздушные и морские течения, тепловое движение молекул и т. п., а в технике - движения различный летательных аппаратов и транспортных средств, частей всевозможных двигателей, машин и механизмов, деформации элементов различных конструкций и сооружений, движения жидкостей и газов и многие др.

Рассматриваемые в М. взаимодействия представляют собой те действия тел друг на друга, результатом которых являются изменения механического движения этих тел. Их примерами могут быть притяжения тел по закону всемирного тяготения, взаимные давления соприкасающихся тел, воздействия частиц жидкости или газа друг на друга и на движущиеся в них тела и др. Обычно под М. понимают т. н. классическую М., в основе которой лежат Ньютона законы механики и предметом которой является изучение движения любых материальных тел (кроме элементарных частиц), совершаемого со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движение тел со скоростями порядка скорости света рассматривается в относительности теории (См. Относительности теория), а внутриатомные явления и движение элементарных частиц изучаются в квантовой механике (См. Квантовая механика).

При изучении движения материальных тел в М. вводят ряд абстрактных понятий, отражающих те или иные свойства реальных тел; таковы: 1) Материальная точка - объект пренебрежимо малых размеров, имеющий массу; это понятие применимо, если в изучаемом движении можно пренебречь размерами тела по сравнению с расстояниями, проходимыми его точками. 2) Абсолютно твёрдое тело - тело, расстояние между двумя любыми точками которого всегда остаётся неизменным; это понятие применимо, когда можно пренебречь деформацией тела. 3) Сплошная изменяемая среда; это понятие применимо, когда при изучении движения изменяемой среды (деформируемого тела, жидкости, газа) можно пренебречь молекулярной структурой среды.

При изучении сплошных сред прибегают к следующим абстракциям, отражающим при данных условиях наиболее существенные свойства соответствующих реальных тел: идеально упругое тело, пластичное тело, идеальная жидкость, вязкая жидкость, идеальный газ и др. В соответствии с этим М. разделяют на: М. материальной точки, М. системы материальных точек, М. абсолютно твёрдого тела и М. сплошной среды; последняя, в свою очередь, подразделяется на теорию упругости, теорию пластичности, гидромеханику, аэромеханику, газовую динамику и др. В каждом из этих разделов в соответствии с характером решаемых задач выделяют: статику - учение о равновесии тел под действием сил, кинематику - учение о геометрических свойствах движения тел и динамику - учение о движении тел под действием сил. В динамике рассматриваются 2 основные задачи: нахождение сил, под действием которых может происходить данное движение тела, и определение движения тела, когда известны действующие на него силы.

Для решения задач М. широко пользуются всевозможными математическими методами, многие из которых обязаны М. самим своим возникновением и развитием. Изучение основных законов и принципов, которым подчиняется механическое движение тел, и вытекающих из этих законов и принципов общих теорем и уравнений составляет содержание т. н. общей, или теоретической, М. Разделами М., имеющими важное самостоятельное значение, являются также теория колебаний (См. Колебания), теория устойчивости равновесия (См. Устойчивость равновесия) и устойчивости движения (См. Устойчивость движения), теория Гироскопа, Механика тел переменной массы, теория автоматического регулирования (см. Автоматическое управление), теория Удара. Важное место в М., особенно в М. сплошных сред, занимают экспериментальные исследования, проводимые с помощью разнообразных механических, оптических, электрических и др. физических методов и приборов.

М. тесно связана со многими др. разделами физики. Ряд понятий и методов М. при соответствующих обобщениях находит приложение в оптике, статистической физике, квантовой М., электродинамике, теории относительности и др. (см., например, Действие, Лагранжа функция, Лагранжа уравнения механики, Механики уравнения канонические, Наименьшего действия принцип). Кроме того, при решении ряда задач газовой динамики (См. Газовая динамика), теории Взрыва, теплообмена в движущихся жидкостях и газах, аэродинамики разреженных газов (См. Аэродинамика разреженных газов), магнитной гидродинамики (См. Магнитная гидродинамика) и др. одновременно используются методы и уравнения как теоретической М., так и соответственно термодинамики, молекулярной физики, теории электричества и др. Важное значение М. имеет для многих разделов астрономии (См. Астрономия), особенно для небесной механики (См. Небесная механика).

Часть М., непосредственно связанную с техникой, составляют многочисленные общетехнические и специальные дисциплины, такие, как Гидравлика, Сопротивление материалов, кинематика механизмов, динамика машин и механизмов, теория гироскопических устройств (См. Гироскопические устройства), внешняя Баллистика, Динамика ракет, теория движения различных наземных, морских и воздушных транспортных средств, теория регулирования и управления движением различных объектов, строительная М., ряд разделов технологии и многое др. Все эти дисциплины пользуются уравнениями и методами теоретической М. Т. о., М. является одной из научных основ многих областей современной техники.

Основные понятия и методы механики. Основными кинематическими мерами движения в М. являются: для точки - её Скорость и Ускорение, а для твёрдого тела - скорость и ускорение поступательного движения и Угловая скорость и Угловое ускорение вращательного движения тела. Кинематическое состояние деформируемого твёрдого тела характеризуется относительными удлинениями и сдвигами его частиц; совокупность этих величин определяет т. н. тензор деформаций. Для жидкостей и газов кинематическое состояние характеризуется тензором скоростей деформаций; кроме того, при изучении поля скоростей движущейся жидкости пользуются понятием о вихре, характеризующем вращение частицы.

Основной мерой механического взаимодействия материальных тел в М. является Сила. Одновременно в М. широко пользуются понятием момента силы (См. Момент силы) относительно точки и относительно оси. В М. сплошной среды силы задаются их поверхностным или объёмным распределением, т. е. отношением величины силы к площади поверхности (для поверхностных сил) или к объёму (для массовых сил), на которые соответствующая сила действует. Возникающие в сплошной среде внутренние напряжения характеризуются в каждой точке среды касательными и нормальными напряжениями, совокупность которых представляет собой величину, называемую тензором напряжений (См. Напряжение). Среднее арифметическое трёх нормальных напряжений, взятое с обратным знаком, определяет величину, называемую Давлением в данной точке среды.

Помимо действующих сил, движение тела зависит от степени его инертности, т. е. от того, насколько быстро оно изменяет своё движение под действием приложенных сил. Для материальной точки мерой инертности является величина, называемая массой (См. Масса) точки. Инертность материального тела зависит не только от его общей массы, но и от распределения масс в теле, которое характеризуется положением центра масс и величинами, называемыми осевыми и центробежными моментами инерции (См. Момент инерции); совокупность этих величин определяет т. н. тензор инерции. Инертность жидкости или газа характеризуется их Плотностью.

В основе М. лежат законы Ньютона. Первые два справедливы по отношению к т. н. инерциальной системе отсчёта (См. Инерциальная система отсчёта). Второй закон даёт основные уравнения для решения задач динамики точки, а вместе с третьим - для решения задач динамики системы материальных точек. В М. сплошной среды, кроме законов Ньютона, используются ещё законы, отражающие свойства данной среды и устанавливающие для неё связь между тензором напряжений и тензорами деформаций или скоростей деформаций. Таков Гука закон для линейно-упругого тела и закон Ньютона для вязкой жидкости (см. Вязкость). О законах, которым подчиняются др. среды, см. Пластичности теория и Реология.

Важное значение для решения задач М. имеют понятия о динамических мерах движения, которыми являются Количество движения, Момент количества движения (или кинетический момент) и Кинетическая энергия, и о мерах действия силы, каковыми служат Импульс силы и Работа. Соотношение между мерами движения и мерами действия силы дают теоремы об изменении количества движения, момента количества движения и кинетической энергии, называемые общими теоремами динамики. Эти теоремы и вытекающие из них законы сохранения количества движения, момента количества движения и механической энергии выражают свойства движения любой системы материальных точек и сплошной среды.

Эффективные методы изучения равновесия и движения несвободной системы материальных точек, т. е. системы, на движение которой налагаются заданные наперёд ограничения, называемые связями механическими (См. Связи механические), дают Вариационные принципы механики, в частности Возможных перемещений принцип, Наименьшего действия принцип и др., а также Д'Аламбера принцип. При решении задач М. широко используются вытекающие из её законов или принципов дифференциальные уравнения движения материальной точки, твёрдого тела и системы материальных точек, в частности уравнения Лагранжа, канонические уравнения, уравнение Гамильтона - Якоби и др., а в М. сплошной среды - соответствующие уравнения равновесия или движения этой среды, уравнение неразрывности (сплошности) среды и уравнение энергии.

Исторический очерк. М. - одна из древнейших наук. Её возникновение и развитие неразрывно связаны с развитием производительных сил общества, нуждами практики. Раньше др. разделов М. под влиянием запросов главным образом строительной техники начинает развиваться статика. Можно полагать, что элементарные сведения о статике (свойства простейших машин) были известны за несколько тысяч лет до н. э., о чём косвенно свидетельствуют остатки древних вавилонских и египетских построек; но прямых доказательств этого не сохранилось. К первым дошедшим до нас трактатам по М., появившимся в Древней Греции, относятся натурфилософские сочинения Аристотеля (См. Аристотель) (4 в. до н. э.), который ввёл в науку сам термин " М. ". Из этих сочинений следует, что в то время были известны законы сложения и уравновешивания сил, приложенных в одной точке и действующих вдоль одной и той же прямой, свойства простейших машин и закон равновесия рычага. Научные основы статики разработал Архимед (3 в. до н. э.).

Его труды содержат строгую теорию рычага, понятие о статическом моменте, правило сложения параллельных сил, учение о равновесии подвешенных тел и о центре тяжести, начала гидростатики. Дальнейший существенный вклад в исследования по статике, приведший к установлению правила параллелограмма сил и развитию понятия о моменте силы, сделали И. Неморарий (около 13 в.), Леонардо да Винчи (15 в.), голландский учёный Стевин (16 в.) и особенно - французский учёный П. Вариньон (17 в.), завершивший эти исследования построением статики на основе правил сложения и разложения сил и доказанной им теоремы о моменте равнодействующей. Последним этапом в развитии геометрической статики явилась разработка французский учёным Л. Пуансо теории пар сил и построение статики на её основе (1804). Др. направление в статике, основывавшееся на принципе возможных перемещений, развивалось в тесной связи с учением о движении.

Проблема изучения движения также возникла в глубокой древности. Решения простейших кинематических задач о сложении движений содержатся уже в сочинениях Аристотеля и в астрономических теориях древних греков, особенно в теории эпициклов, завершенной Птолемеем (См. Птолемей) (2 в. н. э.). Однако динамическое учение Аристотеля, господствовавшее почти до 17 в., исходило из ошибочных представлений о том, что движущееся тело всегда находится под действием некоторой силы (для брошенного тела, например, это подталкивающая сила воздуха, стремящегося занять место, освобождаемое телом; возможность существования вакуума при этом отрицалась), что скорость падающего тела пропорциональна его весу, и т. п.

Периодом создания научных основ динамики, а с ней и всей М. явился 17 век. Уже в 15-16 вв. в странах Западной и Центральной Европы начинают развиваться буржуазные отношения, что привело к значительному развитию ремёсел, торгового мореплавания и военного дела (совершенствование огнестрельного оружия). Это поставило перед наукой ряд важных проблем: исследование полёта снарядов, удара тел, прочности больших кораблей, колебаний маятника (в связи с созданием часов) и др. Но найти их решение, требовавшее развития динамики, можно было только разрушив ошибочные положения продолжавшего господствовать учения Аристотеля. Первый важный шаг в этом направлении сделал Н. Коперник (16 в.), учение которого оказало огромное влияние на развитие всего естествознания и дало М. понятия об относительности движения и о необходимости при его изучении выбора системы отсчёта. Следующим шагом было открытие И. Кеплером опытным путём кинематических законов движения планет (начало 17 в.). Окончательно ошибочные положения аристотелевой динамики опроверг Г. Галилей, заложивший научные основы современной М. Он дал первое верное решение задачи о движении тела под действием силы, найдя экспериментально закон равноускоренного падения тел в вакууме. Галилей установил два основных положения М. - принцип относительности классической М. и закон инерции, который он, правда, высказал лишь для случая движения вдоль горизонтальной плоскости, но применял в своих исследованиях в полной общности. Он первый нашёл, что в вакууме траекторией тела, брошенного под углом к горизонту, является парабола, применив при этом идею сложения движений: горизонтального (по инерции) и вертикального (ускоренного). Открыв изохронность малых колебаний маятника, он положил начало теории колебаний. Исследуя условия равновесия простых машин и решая некоторые задачи гидростатики, Галилей использует сформулированное им в общем виде т. н. золотое правило статики - начальную форму принципа возможных перемещений. Он же первый исследовал прочность балок, чем положил начало науке о сопротивлении материалов. Важная заслуга Галилея - планомерное введение в М. научного эксперимента.

Современник Галилея Р. Декарт в основу своих исследований по М. положил сформулированный в общем виде закон инерции и высказанный им (но не в векторной форме) закон сохранения количества движения; он же ввёл понятие импульса силы. Дальнейший крупный шаг в развитии М. был сделан голландским учёным Х. Гюйгенсом. Ему принадлежит решение ряда важнейших для того времени задач динамики - исследование движения точки по окружности, колебаний физического маятника, законов упругого удара тел. При этом он впервые ввёл понятия центростремительной и центробежной силы и понятие о моменте инерции (сам термин принадлежит Л. Эйлеру), а также применил принцип, по существу эквивалентный закону сохранения механической энергии, общее математическое выражение которого дал впоследствии Г. Гельмгольц.

Заслуга окончательной формулировки основных законов М. принадлежит И. Ньютону (1687). Завершив исследования своих предшественников, Ньютон обобщил понятие силы и ввёл в М. понятие о массе. Сформулированный им основной (второй) закон М. позволил Ньютону успешно разрешить большое число задач, относящихся главным образом к небесной М., в основу которой был положен открытый им же закон всемирного тяготения. Он формулирует и 3-й из основных законов М. - закон равенства действия и противодействия, лежащий в основе М. системы материальных точек. Исследованиями Ньютона завершается создание основ классической М. К тому же периоду относится установление двух исходных положений М. сплошной среды. Ньютон, исследовавший сопротивление жидкости движущимися в ней телами, открыл основной закон внутреннего трения в жидкостях и газах, а английский учёный Р. Гук экспериментально установил закон, выражающий зависимость между напряжениями и деформациями в упругом теле.

В 18 в. интенсивно развивались общие аналитические методы решения задач М. материальной точки, системы точек и твёрдого тела, а также небесной М., основывавшиеся на использовании открытого Ньютоном и Г. В. Лейбницем исчисления бесконечно малых. Главная заслуга в применении этого исчисления для решения задач М. принадлежит Л. Эйлеру. Он разработал аналитические методы решения задач динамики материальной точки, развил теорию моментов инерции и заложил основы М. твёрдого тела. Ему принадлежат также первые исследования по теории корабля, теории устойчивости упругих стержней, теории турбин и решение ряда прикладных задач кинематики. Вкладом в развитие прикладной М. явилось установление французскими учёными Г. Амонтоном и Ш. Кулоном экспериментальных законов трения.

Важным этапом развития М. было создание динамики несвободных механических систем. Исходными для решения этой проблемы явились принцип возможных перемещений, выражающий общее условие равновесия механической системы, развитию и обобщению которого в 18 в. были посвящены исследования И. Бернулли, Л. Карно, Ж. Фурье, Ж. Л. Лагранжа и др., и принцип, высказанный в наиболее общей форме Ж. Д'Аламбером (См. Д'Аламбер) и носящий его имя. Используя эти два принципа, Лагранж завершил разработку аналитических методов решения задач динамики свободной и несвободной механической системы и получил уравнения движения системы в обобщённых координатах, названные его именем. Им же были разработаны основы современной теории колебаний. Др. направление в решении задач М. исходило из принципа наименьшего действия в том его виде, который для одной точки высказал П. Мопертюи и развил Эйлер, а на случай механической системы обобщил Лагранж. Небесная М. получила значительное развитие благодаря трудам Эйлера, Д'Аламбера, Лагранжа и особенно П. Лапласа.

Приложение аналитических методов к М. сплошной среды привело к разработке теоретических основ гидродинамики идеальной жидкости. Основополагающими здесь явились труды Эйлера, а также Д. Бернулли, Лагранжа, Д'Аламбера. Важное значение для М. сплошной среды имел открытый М. В. Ломоносовым закон сохранения вещества.

В 19 в. продолжалось интенсивное развитие всех разделов М. В динамике твёрдого тела классические результаты Эйлера и Лагранжа, а затем С. В. Ковалевской, продолженные др. исследователями, послужили основой для теории гироскопа, которая приобрела особенно большое практическое значение в 20 в. Дальнейшему развитию принципов М. были посвящены основополагающие труды М. В. Остроградского (См. Остроградский), У. Гамильтона, К. Якоби, Г. Герца и др.

В решении фундаментальной проблемы М. и всего естествознания - об устойчивости равновесия и движения, ряд важных результатов получили Лагранж, англ. учёный Э. Раус и Н. Е. Жуковский. Строгая постановка задачи об устойчивости движения и разработка наиболее общих методов её решения принадлежат А. М. Ляпунову. В связи с запросами машинной техники продолжались исследования по теории колебаний и проблеме регулирования хода машин. Основы современной теории автоматического регулирования были разработаны И. А. Вышнеградским (См. Вышнеградский).

Параллельно с динамикой в 19 в. развивалась и кинематика, приобретавшая всё большее самостоятельное значение. Франц. учёный Г. Кориолис доказал теорему о составляющих ускорения, явившуюся основой М. относительного движения. Вместо терминов "ускоряющие силы" и т. п. появился чисто кинематический термин "ускорение" (Ж. Понселе, А. Резаль). Пуансо дал ряд наглядных геометрических интерпретаций движения твёрдого тела. Возросло значение прикладных исследований по кинематике механизмов, важный вклад в которые сделал П. Л. Чебышев. Во 2-й половине 19 в. кинематика выделилась в самостоятельный раздел М.

Значительное развитие в 19 в. получила и М. сплошной среды. Трудами Л. Навье и О. Коши были установлены общие уравнения теории упругости. Дальнейшие фундаментальные результаты в этой области получили Дж. Грин, С. Пуассон, А. Сен-Венан, М. В. Остроградский, Г. Ламе, У. Томсон, Г. Кирхгоф и др. Исследования Навье и Дж. Стокса привели к установлению дифференциальных уравнений движения вязкой жидкости. Существенный вклад в дальнейшее развитие динамики идеальной и вязкой жидкости внесли Гельмгольц (учение о вихрях), Кирхгоф и Жуковский (отрывное обтекание тел), О. Рейнольдс (начало изучения турбулентных течений), Л. Прандтль (теория пограничного слоя) и др. Н. П. Петров создал гидродинамическкую теорию трения при смазке, развитую далее Рейнольдсом, Жуковским совместно с С. А. Чаплыгиным и др. Сен-Венан предложил первую математическую теорию пластичного течения металла.

В 20 в. начинается развитие ряда новых разделов М. Задачи, выдвинутые электро- и радиотехникой, проблемами автоматического регулирования и др., вызвали появление новой области науки - теории нелинейных колебаний, основы которой были заложены трудами Ляпунова и А. Пуанкаре. Другим разделом М., на котором базируется теория реактивного движения, явилась динамика тел переменной массы; её основы были созданы ещё в конце 19 в. трудами И. В. Мещерского (См. Мещерский). Исходные исследования по теории движения ракет принадлежат К. Э. Циолковскому (См. Циолковский).

В М. сплошной среды появляются два важных новых раздела: аэродинамика, основы которой, как и всей авиационной науки, были созданы Жуковским, и газовая динамика, основы которой были заложены Чаплыгиным. Труды Жуковского и Чаплыгина имели огромное значение для развития всей современной гидроаэродинамики.

Современные проблемы механики. К числу важных проблем современной М. относятся уже отмечавшиеся задачи теории колебаний (особенно нелинейных), динамики твёрдого тела, теории устойчивости движения, а также М. тел переменной массы и динамики космических полётов. Во всех областях М. всё большее значение приобретают задачи, в которых вместо "детерминированных", т. е. заранее известных, величин (например, действующих сил или законов движения отдельных объектов) приходится рассматривать "вероятностные" величины, т. е. величины, для которых известна лишь вероятность того, что они могут иметь те или иные значения. В М. непрерывной среды весьма актуальна проблема изучения поведения макрочастиц при изменении их формы, что связано с разработкой более строгой теории турбулентных течений жидкостей, решением проблем пластичности и ползучести и созданием обоснованной теории прочности и разрушения твёрдых тел.

Большой круг вопросов М. связан также с изучением движения плазмы в магнитном поле (магнитная гидродинамика), т. е. с решением одной из самых актуальных проблем современной физики - осуществление управляемой термоядерной реакции. В гидродинамике ряд важнейших задач связан с проблемами больших скоростей в авиации, баллистике, турбостроении и двигателестроении. Много новых задач возникает на стыке М. с др. областями наук. К ним относятся проблемы гидротермохимии (т. е. исследования механических процессов в жидкостях и газах, вступающих в химические реакции), изучение сил, вызывающих деление клеток, механизма образования мускульной силы и др.

При решении многих задач М. широко используются электронно-вычислительные и аналоговые машины. В то же время разработка методов решения новых задач М. (особенно М. сплошной среды) с помощью этих машин - также весьма актуальная проблема.

Исследования в разных областях М. ведутся в университетах и в высших технических учебных заведениях страны, в институте проблем механики АН СССР, а также во многих других научно-исследовательских институтах как в СССР, так и за рубежом.

Результаты исследований, относящихся к различным областям М., публикуются в многочисленных периодических изданиях: "Доклады АН СССР" (серия Математика. Физика, с 1965), "Известия АН СССР" (серии Механика твёрдого тела и Механика жидкости и газа, с 1966), "Прикладная математика и механика" (с 1933), "Журнал прикладной механики и технической физики" (изд. Сибирского отделения АН СССР, с 1960), "Прикладная механика" (изд. АН УССР, с 1955), "Механика полимеров" (изд. АН Латвийской ССР, с 1965), "Вестники" и "Труды" ряда высших учебных заведений и др. (см. также Гидроаэромеханика).

Для координации научных исследований по М. периодически проводятся международные конгрессы по теоретической и прикладной М. и конференции, посвященные отдельным областям М., организуемые Международным союзом по теоретической и прикладной М. (IUTAM), где СССР представлен Национальным комитетом СССР по теоретической и прикладной М. Этот же комитет совместно с др. научными учреждениями периодически организует всесоюзные съезды и конференции, посвященные исследованиям в различных областях М.

Лит.: Галилей Г., Соч., т. 1, М. - Л., 1934; Ньютон И., Математические начала натуральной философии, в кн.: Крылов А. Н., Собр. трудов, т. 7, М. - Л., 1936; Эйлер Л., Основы динамики точки, М. - Л., 1938; Даламбер Ж., Динамика, пер. с франц., М. - Л., 1950; Лагранж Ж., Аналитическая механика, пер. с франц., т. 1-2, М. - Л., 1950; Жуковский Н. Е., Теоретическая механика, М. - Л., 1950; Суслов Г. К., Теоретическая механика, 3 изд., М. - Л., 1946; Бухгольц Н. Н., Основной курс теоретической механики, ч. 1 (9 изд.), ч, 2 (6 изд.), М., 1972; см. также лит. при ст. Гидроаэромеханика, Упругости теория и Пластичности теория. По истории механики: Моисеев Н. Д., Очерки развития механики, , 1961; Космодемьянский А. А., Очерки по истории механики, 2 изд., М., 1964; История механики с древнейших времен до конца XVIII в., под общ. ред. А, Т. Григорьяна и И. Б. Погребысского, М., 1971; Механика в СССР за 50 лет, т. 1-4, М., 1968-1973; Льоцци М., История физики, пер. с итал., М., 1970.

С. М. Тарг.

Волновая механика Искать примеры произношения
Квантовая механика Искать примеры произношения

волновая механика, теория устанавливающая способ описания и законы движения микрочастиц (элементарных частиц, атомов, молекул, атомных ядер) и их систем (например, кристаллов) а также связь величин, характеризующих частицы и системы, с физическими величинами, непосредственно измеряемыми в макроскопических опытах.

Законы К. м. составляют фундамент изучения строения вещества. Они позволили выяснить строение Атомов, установить природу химической связи (См. Химическая связь), объяснить периодическую систему элементов (См. Периодическая система элементов), понять строение ядер атомных (См. Ядро атомное), изучать свойства элементарных частиц (См. Элементарные частицы). Поскольку свойства макроскопических тел определяются движением и взаимодействием частиц, из которых они состоят, законы К. м. лежат в основе понимания большинства макроскопических явлений. К. м. позволила, например, объяснить температурную зависимость и вычислить величину теплоёмкости (См. Теплоёмкость) газов и твёрдых тел, определить строение и понять многие свойства твёрдых тел (металлов, диэлектриков, полупроводников). Только на основе К. м. удалось последовательно объяснить такие явления, как Ферромагнетизм, Сверхтекучесть, Сверхпроводимость, понять природу таких астрофизических объектов, как Белые карлики, Нейтронные звёзды, выяснить механизм протекания термоядерных реакций (См. Термоядерные реакции) в Солнце и звёздах. Существуют также явления (например, Джозефсона эффект), в которых законы К. м. непосредственно проявляются в поведении макроскопических объектов.

Ряд крупнейших технических достижений 20 в. основан по существу на специфических законах К. м. Так, квантово-механические законы лежат в основе работы ядерных реакторов (См. Ядерный реактор), обусловливают возможность осуществления в земных условиях термоядерных реакций, проявляются в ряде явлений в металлах и полупроводниках, используемых в новейшей технике, и т.д. Фундамент такой бурно развивающейся области физики, как Квантовая электроника, составляет квантовомеханическая теория излучения (См. Излучение). Законы К. м. используются при целенаправленном поиске и создании новых материалов (особенно магнитных, полупроводниковых и сверхпроводящих). Т. о., К. м. становится в значительной мере "инженерной" наукой, знание которой необходимо не только физикам-исследователям, но и инженерам.

Место квантовой механики среди других наук о движении. В начале 20 в. выяснилось, что классическая механика И. Ньютона имеет ограниченную область применимости и нуждается в обобщении. Во-первых, она не применима при больших скоростях движения тел - скоростях, сравнимых со скоростью света. Здесь её заменила релятивистская механика, построенная на основе специальной теории относительности А. Эйнштейна (см. Относительности теория). Релятивистская механика включает в себя Ньютонову (нерелятивистскую) механику как частный случай. Ниже термин "классическая механика" будет объединять Ньютонову и релятивистскую механику.

Для классической механики в целом характерно описание частиц путём задания их положения в пространстве (координат) и скоростей и зависимости этих величин от времени. Такому описанию соответствует движение частиц по вполне определенным траекториям. Однако опыт показал, что это описание не всегда справедливо, особенно для частиц с очень малой массой (микрочастиц). В этом состоит второе ограничение применимости механики Ньютона. Более общее описание движения дает К. М., которая включает в себя как частный случай классическую механику. К. м., как и классическая, делится на нерелятивистскую, справедливую в случае малых скоростей, и релятивистскую, удовлетворяющую требованиям специальной теории относительности. В статье изложены основы нерелятивистской К. м. (Однако некоторые общие положения относятся к К. м. в целом. Нерелятивистская К. м. (как и механика Ньютона для своей области применимости) - вполне законченная и логически непротиворечивая теория, способная в области своей компетентности количественно решать в принципе любую физическую задачу. Релятивистская К. м. не является в такой степени завершенной и свободной от противоречий теорией. Если в нерелятивистской области можно считать, что движение определяется силами, действующими (мгновенно) на расстоянии, то в релятивистской области это несправедливо. Поскольку, согласно теории относительности, взаимодействие передается (распространяется) с конечной скоростью, должен существовать физический агент, переносящий взаимодействие; таким агентом является поле. Трудности релятивистской теории - это трудности теории поля, с которыми встречается как релятивистская классическая механика, так и релятивистская К. м. В этой статье не будут рассматриваться вопросы релятивистской К. м., связанные с квантовой теорией поля (См. Квантовая теория поля).

Критерий применимости классической механики.

Соотношение между Ньютоновой и релятивистской механикой определяется существованием фундаментальной величины - предельной скорости распространения сигналов, равной скорости света с (с ≈ 3․1010 см/сек). Если скорости тел (значительно меньше скорости света (т. е. υ/c << 1, так что можно считать с бесконечно большой), то применима Ньютонова механика.

Соотношение между классической механикой и К. м. носит менее наглядный характер. Оно определяется существование другой универсальной мировой постоянной - постоянной Планка h. Постоянная h (называемая также квантом действия) имеет размерность действия (См. Действие) (энергии, умноженной на время) и равно h = 6,662․10-27 эргсек. (В теории чаще используется величина h = h/2π = 1,0545919․10-27 эргсек, которую также называют постоянной Планка.) Формально критерий применимости классической механики заключается в следующем: если в условиях данной задачи физические величины размерности действия значительно больше h (так что h можно считать очень малой), применима классическая механика. Более подробно этот критерий будет разъяснен при изложении физических основ К. м.

История создания квантовой механики. В начале 20 в. были обнаружены две (казалось, не связанные между собой) группы явлений, свидетельствующих о неприменимости обычной классической теории электромагнитного поля (классической электродинамики (См. Электродинамика)) к процессам взаимодействия света с веществом и к процессам, происходящим в атоме. Первая группа явлений была связана с установлением на опыте двойственной природы света (дуализм света); вторая - с невозможностью объяснить на основе классических представлений устойчивое существование атома, а также спектральные закономерности, открытые при изучении испускания света атомами. Установление связи между этими группами явлений и попытки объяснить их на основе новой теории и привели, в конечном счете, к открытию законов К. м.

Впервые квантовые представления (в т. ч. квантовая постоянная h) были введены в физику в работе М. Планка (1900), посвященной теории теплового излучения (см. Планка закон излучения). Существовавшая к тому времени теория теплового излучения, построенная на основе классической электродинамики и статистической физики (См. Статистическая физика), приводила к бессмысленному результату, состоявшему в том, что тепловое (термодинамическое) равновесие между излучением и веществом не может быть достигнуто, т.к. вся энергия рано или поздно должна перейти в излучение. Планк разрешил это противоречие и получил результаты, прекрасно согласующиеся с опытом, на основе чрезвычайно смелой гипотезы. В противоположность классической теории излучения, рассматривающей испускание электромагнитных волн как непрерывный процесс, Планк предположил, что свет испускается определенными порциями энергии - квантами. Величина такого кванта энергии зависит от частоты света ν и равна E = hν

От этой работы Планка можно проследить две взаимосвязанные линии развития, завершившиеся окончательной формулировкой К. м. в дух ее формах к 1927. Первая начинается с работы Эйнштейна (1905), в которой была дана теория Фотоэффекта - явления вырывания светом электронов из вещества. В развитие идеи Планка Эйнштейн предположил, что свет не только испускается и поглощается дискретными порциями - квантами излучения, но и распространение света происходит такими квантами, т. е. что дискретность присуща самому свету - что сам свет состоит из отдельных порций - световых квантов (которые позднее были названы Фотонами). Энергия фотона E связана с частотой колебаний ν волны соотношением Планка E = hν

Дальнейшее доказательство корпускулярного характера света было получено в 1922 А. Комптоном, показавшим экспериментально, что рассеяние света свободными электронами происходит по законам упругого столкновения двух частиц - фотона и электрона (см. Комптона эффект). Кинематика такого столкновения определяется законами сохранения энергии и импульса, причем фотону наряду с энергией E = hν следует приписать импульс р = h/λ = hν/c, где λ - длина световой волны. Энергия и импульс фотона связаны соотношением E = cp, справедливым в релятивистской механике для частицы с нулевой массой.

Т. о., было доказано экспериментально, что наряду с известными волновыми свойствами (проявляющимися, например, в дифракции света (См. Дифракция света)) свет обладает и корпускулярными свойствами: он состоит как бы из частиц - фотонов. В этом проявляется дуализм света, его сложная корпускулярно-волновая природа. Дуализм содержится уже в формуле E = hν, не позволяющей выбрать какую-либо одну из двух концепций: в левой части равенства энергия E относится к частице, а в правой - частота ν является характеристикой волны. Возникло формальное логическое противоречие: для объяснения одних явлений необходимо было считать, что свет имеет волновую природу, а для объяснения других - корпускулярную. По существу разрешение этого противоречия и привело к созданию физических основ К. м.

В 1924 Л. Де Бройль, пытаясь найти объяснение постулированным в 1913 Н. Бором условиям квантования атомных орбит (см. ниже), выдвинул гипотезу о всеобщности корпускулярно-волнового дуализма. Согласно де Бройлю, каждой частице, независимо от ее природы, следует поставить в соответствие волну, длина которой λ связана с импульсом частицы р соотношением

.

По этой гипотезе не только фотоны, но и все "обыкновенные частицы" (электроны, протоны и др.) обладают волновыми свойствами, которые, в частности, должны проявляться в явлении дифракции. В 1927 К. Дэвиссон и Л. Джермер впервые наблюдали дифракцию электронов. Позднее волновые свойства были обнаружены и у других частиц, и справедливость формулы де Бройля была подтверждена экспериментально (см. Дифракция частиц). В 1926 Э. Шрёдингер предложил уравнение, описывающее поведение таких "волн" во внешних силовых полях. Так возникла волновая механика. Волновое уравнение Шрёдингера является основным уравнением нерялитивистской К. м. В 1928 П. Дирак сформулировал релятивистское уравнение, описывающее движение электрона во внешнем силовом поле; Дирака уравнение стало одним из основных уравнений релятивистской К. м.

Вторая линия развития начинается с работы Эйнштейна (1907), посвященной теории теплоемкости твердых тел (она также является обобщением гипотезы Планка). Электромагнитное излучение, представляющее собой набор электромагнитных волн различных частот, динамически эквивалентно некоторому набору Осцилляторов (колебательных систем). Излучение или поглощение волн эквивалентно возбуждению или затуханию соответствующих осцилляторов. Тот факт, что излучение и поглощение электромагнитного излучения веществом происходят квантами энергии hν. Эйнштейн обобщил эту идею квантования энергии осциллятора электромагнитного поля на осциллятор произвольной природы. Поскольку тепловое движение твердых тел сводится к колебаниям атомов, то и твердое тело динамически эквивалентно набору осцилляторов. Энергия таких осцилляторов тоже квантована, т. е. разность соседних уровней энергии (энергий, которыми может обладать осциллятор) должна равняться hν, где ν - частота колебаний атомов. Теория Эйнштейна, уточнённая П. Дебаем (См. Дебай), М. Борном и Т. Карманом, сыграла выдающуюся роль в развитии теории твёрдых тел.

В 1913 Н. Бор применил идею квантования энергии к теории строения атома, планетарная модель которого следовала из результатов опытов Э. Резерфорда (1911). Согласно этой модели, в центре атома находится положительно заряженное ядро, в котором сосредоточена почти вся масса атома; вокруг ядра вращаются по орбитам отрицательно заряженные электроны. Рассмотрение такого движения на основе классических представлений приводило к парадоксальному результату - невозможности стабильного существования атомов: согласно классической электродинамике, электрон не может устойчиво двигаться по орбите, поскольку вращающийся электрический заряд должен излучать электромагнитные волны и, следовательно, терять энергию; радиус его орбиты должен уменьшаться, и за время порядка 10-8 сек электрон должен упасть на ядро. Это означало, что законы классической физики неприменимы к движению электронов в атоме, т.к. атомы существуют и чрезвычайно устойчивы.

Для объяснения устойчивости атомов Бор предположил, что из всех орбит, допускаемых Ньютоновой механикой для движения электрона в электрическом поле атомного ядра, реально осуществляются лишь те, которые удовлетворяют определённым условиям квантования. Т. е. в атоме существуют (как в осцилляторе) дискретные уровни энергии. Эти уровни подчиняются определённой закономерности, выведенной Бором на основе комбинации законов Ньютоновой механики с условиями квантования, требующими, чтобы величина действия для классической орбиты была целым кратным постоянной Планка ħ. Бор постулировал, что, находясь на определённом уровне энергии (т. е. совершая допускаемое условиями квантования орбитальное движение), электрон не излучает световых волн. Излучение происходит лишь при переходе электрона с одной орбиты на другую, т. е. с одного уровня энергии Ei, на другой с меньшей энергией Ek, при этом рождается квант света с энергией, равной разности энергий уровней, между которыми осуществляется переход:

hν = Ei - Ek. (2)

Так возникает линейчатый спектр - основная особенность атомных спектров, Бор получил правильную формулу для частот спектральных линий атома водорода (и водородоподобных атомов), охватывающую совокупность открытых ранее эмпирических формул (см. Спектральные серии).

Существование уровней энергии в атомах было непосредственно подтверждено Франка - Герца опытами (См. Франка - Герца опыт) (1913-14). Было установлено, что электроны, бомбардирующие газ, теряют при столкновении с атомами только определённые порции энергии, равные разности энергетических уровней атома.

Т. о., Н. Бор, используя квантовую постоянную h, отражающую дуализм света, показал, что эта величина определяет также и движение электронов в атоме (и что законы этого движения существенно отличаются от законов классической механики). Этот факт позднее был объяснён на основе универсальности корпускулярно-волнового дуализма, содержащегося в гипотезе де Бройля.

Успех теории Бора, как и предыдущие успехи квантовой теории, был достигнут за счёт нарушения логической цельности теории: с одной стороны, использовалась Ньютонова механика, с другой - привлекались чуждые ей искусственные правила квантования, к тому же противоречащие классической электродинамике. Кроме того, теория Бора оказалась не в состоянии объяснить движение электронов в сложных атомах (даже в атоме гелия), возникновение молекулярной связи и т.д. "Полуклассическая" теория Бора не могла также ответить на вопрос, как движется электрон при переходе с одного уровня энергии на другой. Дальнейшая напряжённая разработка вопросов теории атома привела к убеждению, что, сохраняя классическую картину движения электрона по орбите, логически стройную теорию построить невозможно. Осознание того факта, что движение электронов в атоме не описывается в терминах (понятиях) классической механики (как движение по определённой траектории), привело к мысли, что вопрос о движении электрона между уровнями несовместим с характером законов, определяющих поведение электронов в атоме, и что необходима новая теория, в которую входили бы только величины, относящиеся к начальному и конечному стационарным состояниям атома. В 1925 В. Гейзенбергу удалось построить такую формальную схему, в которой вместо координат и скоростей электрона фигурировали некие абстрактные алгебраические величины - матрицы (См. Матрица); связь матриц с наблюдаемыми величинами (энергетическими уровнями и интенсивностями квантовых переходов) давалась простыми непротиворечивыми правилами. Работа Гейзенберга была развита М. Борном и П. Иорданом. Так возникла матричная механика. Вскоре после появления уравнения Шрёдингера была показана математическая эквивалентность волновой (основанной на уравнении Шрёдингера) и матричной механики. В 1926 М. Борн дал вероятностную интерпретацию волн де Бройля (см. ниже).

Большую роль в создании К. м. сыграли работы Дирака, относящиеся к этому же времени. Окончательное формирование К. м. как последовательной физической теории с ясными основами и стройным математическим аппаратом произошло после работы Гейзенберга (1927), в которой было сформулировано Неопределённостей соотношение - важнейшее соотношение, освещающее физический смысл уравнений К. м., её связь с классической механикой и другие как принципиальные вопросы, так и качественные результаты К. м. Эта работа была продолжена и обобщена в трудах Бора и Гейзенберга.

Детальный анализ спектров атомов привёл к представлению (введённому впервые Дж. Ю. Уленбеком и С. Гаудсмитом и развитому В. Паули) о том, что электрону, кроме заряда и массы, должна быть приписана ещё одна внутренняя характеристика (квантовое число (См. Квантовые числа)) - Спин. Важную роль сыграл открытый В. Паули (1925) так называемый принцип запрета (Паули принцип, см. ниже), имеющий фундаментальное значение в теории атома, молекулы (См. Молекула), ядра, твёрдого тела.

В течение короткого времени К. м. была с успехом применена к широкому кругу явлений. Были созданы теории атомных спектров, строения молекул, химической связи, периодической системы Д. И. Менделеева, металлической проводимости и ферромагнетизма. Эти и многие др. явления стали (по крайней мере качественно) понятными. Дальнейшее принципиальное развитие квантовой теории связано главным образом с релятивистской К. м. Нерелятивистская К. м. развивалась в основном в направлении охвата разнообразных конкретных задач физики атомов, молекул, твёрдых тел (металлов, полупроводников), плазмы (См. Плазма) и т.д., а также совершенствования математического аппарата и разработки количественных методов решения различных задач.

Вероятности и волны. Поскольку законы К. м. не обладают той степенью наглядности, которая свойственна законам классической механики, целесообразно проследить линию развития идей, составляющих фундамент К. м., и только после этого сформулировать её основные положения. Выбор фактов, на основе которых строится теория, конечно, не единствен поскольку К. м. описывает широчайший круг явлений и каждое из них способно дать материал для её обоснования. Будем исходить из требований простоты и возможной близости к истории.

Рассмотрим простейший опыт по распространению света (рис. 1). На пути пучка света ставится прозрачная пластинка S. Часть света проходит через пластинку, а часть отражается. Известно, что свет состоит из "частиц" - фотонов. Что же происходит с отдельным фотоном при попадании на пластинку. Если поставить опыт (например, с пучком света крайне малой интенсивности), в котором можно следить за судьбой каждого фотона, то можно убедиться, что фотон при встрече с пластинкой не расщепляется на два фотона, его индивидуальность как частицы сохраняется (иначе свет менял бы свою частоту, т. е. "цветность"). Оказывается, что некоторые фотоны проходят сквозь пластинку, а некоторые отражаются от нее. В чем причина этого. Может быть, имеется два разных сорта фотонов. Поставим контрольный опыт: внесем такую же пластинку на пути прошедшего света, который должен бы содержать только один из двух "сортов" фотонов. Однако будет наблюдаться та же картина: часть фотонов пройдет вторую пластинку, а часть отразится. Следовательно, одинаковые частицы в одинаковых условиях могут вести себя по-разному. А это означает, что поведение фотона при встрече с пластинкой непредсказуемо однозначно. Детерминизма в том смысле, как это понимается в классической механике, при движении фотонов не существует. Этот вывод является одним из отправных пунктов для устранения противоречия между корпускулярными и волновыми свойствами частиц и построения теории квантовомеханических явлений.

Задача отражения света от прозрачной пластинки не представляет какой-либо трудности для волновой теории: исходя из свойств пластинки, волновая оптика однозначно предсказывает отношение интенсивностей прошедшего и отражённого света. С корпускулярной точки зрения, интенсивность света пропорциональна числу фотонов. Обозначим через N общее число фотонов, через N1 и N2 - число прошедших и число отражённых фотонов (N1 + N2 = N). Волновая оптика определяет отношение N1/N2, и о поведении одного фотона, естественно, ничего сказать нельзя. Отражение фотона от пластинки или прохождение через неё являются случайными событиями: некоторые фотоны проходят через пластинку, некоторые отражаются от неё, но при большом числе фотонов оказывается, что отношение N1/N2 находится в согласии с предсказанием волновой оптики. Количественно закономерности, проявляющиеся при случайных событиях, описываются с помощью понятия вероятности (см. Вероятностей теория). Фотон может с вероятностью ω1 пройти пластинку и с вероятностью ω2 отразиться от неё. При общем числе фотонов N в среднем пройдёт пластинку ω1N частиц, а отразится ω2N частиц. Если N очень велико, то средние (ожидаемые) значения чисел частиц точно совпадают с истинными (хотя флуктуации существуют, и классическая оптика их учесть не может). Все соотношения оптики могут быть переведены с языка интенсивностей на язык вероятностей и тогда они будут относиться к поведению одного фотона. Вероятность того, что с фотоном произойдёт одно из двух альтернативных (взаимно исключающих) событий - прохождение или отражение, равна ω1 + ω2 = 1. Это закон сложения вероятностей, соответствующий сложению интенсивностей. Вероятность прохождения через две одинаковые пластинки равна ω21, а вероятность прохождения через первую и отражения от второй - ω1․ω2 (это отвечает тому, что на второй пластинке свет, прошедший первую пластинку, разделяется на прошедший и отражённый в том же отношении, как и на первой). Это закон умножения вероятностей (справедливый для независимых событий).

Рассмотренный опыт не специфичен для света. Аналогичные опыты с пучком электронов или др. микрочастиц также показывают непредсказуемость поведения отдельной частицы. Однако не только прямые опыты говорят в пользу того, что и в самом общем случае следует перейти к вероятностному описанию поведения микрочастиц. Теоретически невозможно представить, что одни микрочастицы описываются вероятностно, а другие классически: взаимодействие "классических" частиц с "квантовыми" с необходимостью приводило бы к внесению квантовых неопределённостей и делало бы поведение "классических" частиц также непредсказуемым (в смысле классического детерминизма).

Предсказание вероятностей различных процессов - такова возможная формулировка задачи К. м., в отличие от задачи классической механики, состоящей в предсказании в принципе только достоверных событий. Конечно, вероятностное описание допустимо и в классической механике. Для получения достоверного предсказания классическая механика нуждается в абсолютно точном задании начальных условий, т. е. положений и скоростей всех образующих систему частиц. Если же начальные условия заданы не точно, а с некоторой степенью неопределённости, то и предсказания будут содержать неопределённости, т. е. носить в той или иной степени вероятностный характер. Примером служит классическая статистическая физика, оперирующая с некоторыми усреднёнными величинами. Поэтому дистанция между строем мысли квантовой и классическая механики была бы не столь велика, если бы основными понятиями К. м. были именно вероятности. Чтобы выяснить радикальное различие между К. м. и классической механикой, несколько усложним рассмотренный выше опыт по отражению света.

Пусть отражённый пучок света (или микрочастиц) при помощи зеркала 3 поворачивается и попадает в ту же область А (например, в тот же детектор, регистрирующий фотоны), что и прошедший пучок (рис. 2). Естественно было бы ожидать, что в этом случае измеренная интенсивность равна сумме интенсивностей прошедшего и отражённого пучков. Но хорошо известно, что это не так: интенсивность в зависимости от расположения зеркала и детектора может меняться в довольно широких пределах и в некоторых случаях (при равной интенсивности прошедшего и отражённого света) даже обращаться в ноль (пучки как бы гасят друг друга). Это - явление интерференции света (См. Интерференция света). Что же можно сказать о поведении отдельного фотона в интерференционном опыте. Вероятность его попадания в данный детектор существенно перераспределится по сравнению с первым опытом, и не будет равна сумме вероятностей прихода фотона в детектор первым и вторым путями. Следовательно, эти два пути не являются альтернативными (иначе вероятности складывались бы). Отсюда следует, что наличие двух путей прихода фотона от источника к детектору существенным образом влияет на распределение вероятностей, и поэтому нельзя сказать, каким путём прошёл фотон от источника к детектору. Приходится считать, что он одновременно мог придти двумя различными путями.

Необходимо подчеркнуть радикальность возникающих представлений. Действительно, невозможно представить себе движение частицы одновременно по двум путям. К. м. и не ставит такой задачи. Она лишь предсказывает результаты опытов с пучками частиц. Подчеркнём, что в данном случае не высказывается никаких гипотез, а даётся лишь интерпретация волнового опыта с точки зрения корпускулярных представлений. (Напомним, что речь идёт не только о свете, но и о любых пучках частиц, например электронов.) Полученный результат означает невозможность классического описания движения частиц по траекториям, отсутствие наглядности квантового описания.

Попытаемся всё же выяснить, каким путём прошла частица, поставив на возможных её путях детекторы. Естественно, что частица будет зарегистрирована в одном, а не сразу во всех возможных местах. Но как только измерение выделит определённую траекторию частицы, интерференционная картина исчезнет. Распределение вероятностей станет другим. Для возникновения интерференции нужны обе (все) возможные траектории. Т. о., регистрация траектории частицы так изменяет условия, что два пути становятся альтернативными, и в результате получается сложение интенсивностей, которое было бы в случае "классических" частиц, движущихся по определённым траекториям.

Для квантовых явлений очень важно точное описание условий опыта, в которых наблюдается данное явление. В условия, в частности, входят и измерительные приборы. В классической физике предполагается, что роль измерительного прибора может быть в принципе сведена только к регистрации движения и состояние системы при измерении не меняется. В квантовой физике такое предположение несправедливо: измерительный прибор наряду с др. факторами сам участвует в формировании изучаемого на опыте явления, и эту его роль нельзя не учитывать. Роль измерительного прибора в квантовых явлениях была всесторонне проанализирована Н. Бором и В. Гейзенбергом. Она тесно связана с соотношением неопределённостей, которое будет рассмотрено позже.

Внимание к роли измерений не означает, что в К. м. не изучаются физические явления безотносительно к приборам, например свойства частиц "самих по себе". Так, решаемые К. м. задачи об энергетических уровнях атомов, о рассеянии микрочастиц (См. Рассеяние микрочастиц) при их столкновениях друг с другом, об интерференционных явлениях - это задачи о свойствах частиц и их поведении. Роль прибора выступает на первое место тогда, когда ставятся специфические вопросы, некоторые из которых лишены, как выяснилось, смысла (например, вопрос о том, по какой траектории двигался электрон в интерференционном опыте, т.к. либо нет траектории, либо нет интерференции).

Вернёмся к интерференционному опыту. До сих пор было сделано лишь негативное утверждение: частица не движется по определённому пути, и вероятности не складываются. Конструктивное предложение для описания подобной ситуации можно почерпнуть снова из волновой оптики. В оптике каждая волна характеризуется не только интенсивностью, но и фазой (интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды). Совокупность этих двух действительных величин - амплитуды А и фазы φ - принято объединять в одно комплексное число, которое называют комплексной амплитудой: ψ = Ae. Тогда интенсивность равна I = |ψ|2 = ψ*ψ = A2, где ψ* - функция, комплексно сопряжённая с ψ. Т. к. непосредственно измеряется именно интенсивность, то для одной волны фаза никак не проявляется. В опыте с прохождением и отражением света ситуация именно такая: имеется две волны ψ1 и ψ2, но одна из них существует только справа, а другая только слева (см. рис. 1); интенсивности этих волн I1 = A12, I2 = A22, и фазы не фигурируют (поэтому можно было обойтись только интенсивностями). В интерференционном опыте ситуация изменилась: волна ψ2 с помощью зеркала была направлена в область нахождения волны ψ1 (см. рис. 2). Волновое поле в области существования двух волн определяется в оптике с помощью принципа суперпозиции: волны налагаются друг на друга, т. е. складываются с учётом их фаз. Суммарная волна ψ имеет комплексную амплитуду, равную сумме комплексных амплитуд обеих волн:

.

Интенсивность суммарной волны зависит от разности фаз φ1 - φ2 (пропорциональной разности хода световых пучков по двум путям):

. (4)

В частности, при A1 = A2 и cos (φ1 - φ2) = - 1 |ψ|2 = 0.

В этом примере рассмотрен простейший случай сложения амплитуд. В более общем случае из-за изменения условий (например, из-за свойств зеркала) амплитуды могут изменяться по величине и фазе, так что суммарная волна будет иметь вид

где c1 и c2 - комплексные числа:

, .

Принципиальная суть явления при этом не изменяется. Характер явления не зависит также от общей интенсивности. Если увеличить ψ в С раз, то интенсивность увеличится в |С|2 раз, т. е. |С|2 будет общим множителем в формуле распределения интенсивностей. Число С можно считать как комплексным, так и действительным, физические результаты не содержат фазы числа С - она произвольна.

Для интерпретации волновых явлений с корпускулярной точки зрения необходимо перенесение принципа суперпозиции в К. м. Поскольку К. м. имеет дело не с интенсивностями, а с вероятностями, следует ввести амплитуду вероятности ψ = Ae, полагая (по аналогии с оптическими волнами), что вероятность ω = |cψ|2 = |c|ψ*ψ. Здесь с - число, называемое нормировочным множителем, который должен быть подобран так, чтобы суммарная вероятность обнаружения частицы во всех возможных местах равнялась 1, т. е. . Множитель с определён только по модулю, фаза его произвольна. Нормировочный множитель важен только для определения абсолютной вероятности; относительные вероятности определяются амплитудами вероятности в произвольной нормировке. Амплитуда вероятности называются в К. м. также волновой функцией (См. Волновая функция).

Амплитуды вероятности (как оптические амплитуды) удовлетворяют принципу суперпозиции: если ψ1 и ψ2 - амплитуды вероятности прохождения частицы соответственно первым и вторым путём, то амплитуда вероятности для случая, когда осуществляются оба пути, должна быть равна ψ = ψ12. Тем самым фраза: "частица прошла двумя путями" приобретает волновой смысл, а вероятность ω = |ψ12|2 обнаруживает интерференционные свойства.

Следует подчеркнуть различие в смысле, вкладываемом в принцип суперпозиции в оптике (и др. волновых процессах) и К. м. Сложение (суперпозиция) обычных волн не противоречит наглядным представлениям, т.к. каждая из волн представляет возможный тип колебаний и суперпозиция соответствует сложению этих колебаний в каждой точке. В то же время квантовомеханические амплитуды вероятности описывают альтернативные (с классической точки зрения, исключающие друг друга) движения (например, волны ψ1 и ψ2 соответствуют частицам, приходящим в детектор двумя различными путями). С классической точки зрения, сложение таких движений представляется совершенно непонятным. В этом проявляется отсутствие наглядности квантовомеханического принципа суперпозиции. Избежать формального логического противоречия квантовомеханического принципа суперпозиции (возможность для частицы пройти одновременно двумя путями) позволяет вероятностная интерпретация. Постановка опыта по определению пути частицы (см. выше) приведёт к тому, что с вероятностью |ψ1|2 частица пройдёт первым и с вероятностью |ψ2|2 - вторым путём. Суммарное распределение частиц на экране будет определяться вероятностью |ψ1|2 + |ψ2|2, т. е. интерференция исчезнет.

Т. о., рассмотрение интерференционного опыта приводит к следующему выводу. Величиной, описывающей состояние физической системы в К. м., является амплитуда вероятности, или волновая функция, системы. Основная черта такого квантовомеханического описания - предположение о справедливости принципа суперпозиции состояний.

Принцип суперпозиции - основной принцип К. м. В общем виде он утверждает, что если в данных условиях возможны различные квантовые состояния частицы (или системы частиц), которым соответствуют волновые функции ψ1, ψ2,..., ψi,..., то существует и состояние, описываемое волновой функцией

,

где ci - произвольные комплексные числа. Если ψi описывают альтернативные состояния, то |ci|2 определяет вероятность того, что система находится в состоянии с волновой функцией ψi, и

Волны де Бройля и соотношение неопределённостей. Одна из основных задач К. м. - нахождение волновой функции, отвечающей данному состоянию изучаемой системы. Рассмотрим решение этой задачи на простейшем (но важном) случае свободно движущейся частицы. Согласно де Бройлю, со свободной частицей, имеющей импульс р связана волна с длиной λ = h/p. Это означает, что волновая функция свободной частицы ψ(х) - волна де Бройля - должна быть такой функцией координаты х, чтобы при изменении х на λ волновая функция ψ возвращалась к прежнему значению. Этим свойством обладает функция ei2πx/λ. Если ввести величину k = 2π/λ, называемую волновым числом, то соотношение де Бройля примет вид: . Т. о., если частица имеет определённый импульс р, то её состояние описывается волновой функцией

, (5)

где С - постоянное комплексное число. Эта волновая функция обладает замечательным свойством: квадрат её модуля |ψ1|2 не зависит от х, т. е. вероятность нахождения частицы, описываемой такой волновой функцией, в любой точке пространства одинакова. Другими словами, частица со строго определённым импульсом совершенно нелокализована. Конечно, это идеализация - полностью нелокализованных частиц не существует. Но в той же мере идеализацией является и волна со строго определённой длиной волны, а следовательно, и строгая определённость импульса частицы. Поэтому точнее сказать иначе: чем более определённым является импульс частицы, тем менее определенно её положение (координата). В этом заключается специфический для К. м. принцип неопределённости. Чтобы получить количественное выражение этого принципа - соотношение неопределённостей, рассмотрим состояние, представляющее собой суперпозицию некоторого (точнее, бесконечно большого) числа де-бройлевских волн с близкими волновыми числами, заключёнными в малом интервале Δk. Получающаяся в результате суперпозиции волновая функция ψ(х) (она называется волновым пакетом (См. Волновой пакет)) имеет такой характер: вблизи некоторого фиксированного значения x0 все амплитуды сложатся, а вдали от x0 (|х - x0| >> λ) будут гасить друг друга из-за большого разнобоя в фазах. Оказывается, что практически такая волновая функция сосредоточена в области шириной Δх, обратно пропорциональной интервалу Δk, т. е. Δх ≈ 1/Δk, или (где - неопределённость импульса частицы). Это соотношение и представляет собой соотношение неопределённостей Гейзенберга.

Математически любую функцию ψ(х) можно представить как наложение простых периодических волн - это известное Фурье преобразование, на основании свойств которого соотношение неопределённостей между Δх и Δk получается математически строго. Точное соотношение имеет вид неравенства ΔхΔk1/2, или

, (6)

причём под неопределённостями Δр и Δх понимаются дисперсии, т. е. среднеквадратичные отклонения импульса и координаты от их средних значений. Физическая интерпретация соотношения (6) заключается в том, что (в противоположность классической механике) не существует такого состояния, в котором координата и импульс частицы имеют одновременно точные значения. Масштаб неопределённостей этих величин задаётся постоянной Планка ħ, в этом заключён важный смысл этой мировой постоянной. Если неопределённости, связанные соотношением Гейзенберга, можно считать в данной задаче малыми и пренебречь ими, то движение частицы будет описываться законами классической механики (как движение по определённой траектории).

Принцип неопределённости является фундаментальным принципом К. м., устанавливающим физическое содержание и структуру её математического аппарата. Кроме этого, он играет большую эвристическую роль, т.к. многие результаты К. м. могут быть получены и поняты на основе комбинации законов классической механики с соотношением неопределённостей. Важным примером является проблема устойчивости атома, о которой говорилось выше. Рассмотрим эту задачу для атома водорода. Пусть электрон движется вокруг ядра (протона) по круговой орбите радиуса r со скоростью υ. По закону Кулона сила притяжения электрона к ядру равна e2/r2, где е - абсолютная величина заряда электрона, а центростремительное ускорение равно υ2/r. По второму закону Ньютона mυ2r = e2/r2, где m - масса электрона. Отсюда следует, что радиус орбиты r = е2/mυ2 может быть сколь угодно малым, если скорость υ достаточно велика. Но в К. м. должно выполняться соотношение неопределённостей. Если допустить неопределённость положения электрона в пределах радиуса его орбиты r, а неопределённость скорости - в пределах υ, т. е. импульса в пределах Δр = mυ, то соотношение неопределённостей примет вид: . Воспользовавшись связью между υ и r, определяемой законом Ньютона, получим и . Следовательно, движение электрона по орбите с радиусом, меньшим см, невозможно, электрон не может упасть на ядро - атом устойчив. Величина r0 и является радиусом атома водорода ("боровским радиусом"). Ему соответствует максимально возможная энергия связи атома E0 (равная полной энергии электрона в атоме, т. е. сумме кинетической энергии mυ2/2 и потенциальной энергии - e2/r0, что составляет E0 ≈ -13,6 эв), определяющая его минимальную энергию - энергию основного состояния.

Т о., квантовомеханические представления впервые дали возможность теоретически оценить размеры атома (выразив его радиус через мировые постоянные ħ, m, е). "Малость" атомных размеров оказалась связанной с тем, что "мала" постоянная ħ.

Примечательно, что современные представления об атомах, обладающих вполне определёнными устойчивыми состояниями, оказываются ближе к представлениям древних атомистов, чем основанная на законах классической механики планетарная модель атома, позволяющая электрону находиться на любых расстояниях от ядра.

Строгое решение задачи о движении электрона в атоме водорода получается из квантовомеханического уравнения движения - уравнения Шрёдингера (см. ниже); решение уравнения Шрёдингера даёт волновую функцию ψ, которая описывает состояние электрона, находящегося в области притяжения ядра. Но и не зная явного вида ψ, можно утверждать, что эта волновая функция представляет собой такую суперпозицию волн де Бройля, которая соответствует локализации электрона в области с размером ≥ r0 и разбросу по импульсам .

Соотношение неопределённостей позволяет также понять устойчивость молекул и оценить их размеры и минимальную энергию, объясняет существование вещества, которое ни при каких температурах не превращается при нормальном давлении в твёрдое состояние (гелий), даёт качественное представления о структуре и размерах ядра и т.д.

Существование уровней энергии - характерное квантовое явление, присущее всем физическим системам, не вытекает непосредственно из соотношения неопределённостей. Ниже будет показано, что дискретность уровней энергии связанной системы можно объяснить на основе уравнения Шрёдингера; отметим лишь, что возможные дискретные значения энергии (энергетические уровни) En > E0 соответствуют возбуждённым состояниям квантовомеханической системы (см., например, Атом).

Стационарное уравнение Шрёдингера. Волны де Бройля описывают состояние частицы только в случае свободного движения. Если на частицу действует поле сил с потенциальной энергией V (называемой также потенциалом), зависящей от координат частицы, то волновая функция частицы ψ определяется дифференциальным уравнением, которое получается путём следующего обобщения гипотезы де Бройля. Для случая, когда движение частицы с заданной энергией E происходит в одном измерении (вдоль оси х), уравнение,. которому удовлетворяет волна де Бройля (5), может быть записано в виде:

, (*)

где - импульс свободно движущейся частицы (массы m). Если частица с энергией E движется в потенциальном поле V (x), не зависящем от времени, то квадрат её импульса (определяемый законом сохранения энергии) равен . Простейшим обобщением уравнения (*) является поэтому уравнение

. (7)

Оно называется стационарным (не зависящим от времени) уравнением Шрёдингера и относится к основным уравнениям К. м. Решение этого уравнения зависит от вида сил, т. е. от вида потенциала V (x). Рассмотрим несколько типичных случаев.

1) V = const, E > V. Решением является волна де Бройля ψ = Ceikx, где E - V - кинетическая энергия частицы.

2) Потенциальная стенка:

V = 0 при х < 0,

V = V1 > 0 при х > 0.

Если полная энергия частицы больше высоты стенки, т. е. E > V1, и частица движется слева направо (рис. 3), то решение уравнения (7) в области x < 0 имеет вид двух волн де Бройля - падающей и отражённой:

,

где

(волна с волновым числом k = -k0 соответствует движению справа налево с тем же импульсом p0), а при х > 0 - проходящей волны де Бройля:

, где .

Отношения |C1/C2|2 и |C'0/C0|2 определяют вероятности прохождения частицы над стенкой и отражения от неё. Наличие отражения - специфически квантовомеханическое (волновое) явление (аналогичное частичному отражению световой волны от границы раздела двух прозрачных сред): "классическая" частица проходит над барьером, и лишь импульс её уменьшается до значения .

Если энергия частицы меньше высоты стенки, E < V (рис. 4, а), то кинетическая энергия частицы E - V в области х > 0 отрицательна. В классической механике это невозможно, и частица не заходит в такую область пространства - она отражается от потенциальной стенки. Волновое движение имеет др. характер. Отрицательное значение означает, что k - чисто мнимая величина, k = iχ, где χ вещественно. Поэтому волна eikx превращается в e-χx, т. е. колебательный режим сменяется затухающим (χ > 0, иначе получился бы лишённый физического смысла неограниченный рост волны с увеличением х). Это явление хорошо известно в теории колебаний. Под энергетической схемой на рис. 4, арис. 4, б) изображено качественное поведение волновой функции ψ(х), точнее её действительной части.

3) Две области, свободные от сил, разделены прямоугольным потенциальным барьером (См. Потенциальный барьер) V, и частица движется к барьеру слева с энергией E < V (рис. 4, б). Согласно классической механике, частица отразится от барьера; согласно К. м., волновая функция не равна нулю и внутри барьера, а справа будет опять иметь вид волны де Бройля с тем же импульсом (т. е. с той же частотой, но, конечно, с меньшей амплитудой). Следовательно, частица может пройти сквозь барьер. Коэффициент (или вероятность) проникновения будет тем больше, чем меньше ширина и высота (чем меньше разность V - E) барьера. Этот типично квантовомеханический эффект, называемый туннельным эффектом (См. Туннельный эффект), имеет большое значение в практических приложениях К. м. Он объясняет, например, явление Альфа-распада - вылета из радиоактивных ядер α-частиц (ядер гелия). В термоядерных реакциях, протекающих при температурах в десятки и сотни млн. градусов, основная масса реагирующих ядер преодолевает электростатическое (кулоновское) отталкивание и сближается на расстояния порядка действия ядерных сил в результате туннельных (подбарьерных) переходов. Возможность туннельных переходов объясняет также автоэлектронную эмиссию - явление вырывания электронов из металла электрическим полем, контактные явления в металлах и полупроводниках и многие др. явления.

Уровни энергии. Рассмотрим поведение частицы в поле произвольной потенциальной ямы (См. Потенциальная яма) (рис. 5). Пусть потенциал отличен от нуля в некоторой ограниченной области, причем V < 0 (силы притяжения). При этом и классическое, и квантовое движения существенно различны в зависимости от того, положительна или отрицательна полная энергия E частицы. При E > 0 "классическая" частица проходит над ямой и удаляется от неё. Отличие квантовомеханического движения от классического состоит в том, что происходит частичное отражение волны от ямы; при этом возможные значения энергии ничем не ограничены - энергия частицы имеет непрерывный спектр. При E < 0 частица оказывается "запертой" внутри ямы. В классической механике эта ограниченность области движения абсолютна и возможна при любых значениях E < 0. В К. м. ситуация существенно меняется. Волновая функция должна затухать по обе стороны от ямы, т. е. иметь вид е-χ|х|. Однако решение, удовлетворяющее этому условию, существует не при всех значениях E, а только при определённых дискретных значениях. Число таких дискретных значений En может быть конечным или бесконечным, но оно всегда счётно, т. е. может быть перенумеровано, и всегда имеется низшее значение E0 (лежащее выше дна потенциальной ямы); номер решения n называется квантовым числом. В этом случае говорят, что энергия системы имеет дискретный спектр. Дискретность допустимых значений энергии системы (или соответствующих частот где ω = 2πν - угловая частота) - типично волновое явление. Его аналогии наблюдаются в классической физике, когда волновое движение происходит в ограниченном пространстве. Так, часто́ты колебаний струны (См. Струна) или часто́ты электромагнитных волн в объёмном резонаторе (См. Объёмный резонатор) дискретны и определяются размерами и свойствами границ области, в которой происходят колебания. Действительно, уравнение Шрёдингера математически подобно соответствующим уравнениям для струны или резонатора.

Проиллюстрируем дискретный спектр энергии на примере квантового осциллятора. На рис. 6 по оси абсцисс отложено расстояние частицы от положения равновесия. Кривая (парабола) представляет потенциальную энергию частицы. В этом случае частица при всех энергиях "заперта" внутри ямы, поэтому спектр энергии дискретен. Горизонтальные прямые изображают уровни энергии частицы. Энергия низшего уровня ; это наименьшее значение энергии, совместимое с соотношением неопределённостей: положение частицы на дне ямы (E = 0) означало бы точное равновесие, при котором и х = 0, и р = 0, что невозможно, согласно принципу неопределённости. Следующие, более высокие уровни энергии осциллятора расположены на равных расстояниях через интервал ħω; формула для энергии n-го уровня:

En = . (8)

Над каждой горизонтальной прямой на рис.6 приведено условное изображение волновой функции данного состояния. Характерно, что число узлов волновой функции (т. е. число прохождений через 0) равно квантовому числу n энергетического уровня. По др. сторону ямы (за точкой пересечения уровня с кривой потенциала) волновая функция быстро затухает, в соответствии с тем, что говорилось выше.

В общем случае каждая квантовомеханическая система характеризуется своим энергетическим спектром. В зависимости от вида потенциала (точнее, от характера взаимодействия в системе) энергетический спектр может быть либо дискретным (как у осциллятора), либо непрерывным (как у свободной частицы, - её кинетическая энергия может иметь произвольное положительное значение), либо частично дискретным, частично непрерывным (например, уровни атома при энергиях возбуждения, меньших энергии ионизации, дискретны, а при больших энергиях - непрерывны).

Особенно важным является случай, имеющий место в атомах, молекулах, ядрах и др. системах, когда наинизшее значение энергии, соответствующее основному состоянию системы, лежит в области дискретного спектра и, следовательно, основное состояние отделено от первого возбуждённого состояния энергетической щелью. Благодаря этому внутренняя структура системы не проявляется де тех пор, пока обмен энергией при её взаимодействиях с др. системами не превысит определённого значения - ширины энергетической щели. Поэтому при ограниченном обмене энергией сложная система (например, ядро или атом) ведёт себя как бесструктурная частица (материальная точка). Это имеет первостепенное значение для понимания, например, теплового движения. Так, при энергиях теплового движения, меньших энергии возбуждения атомных уровней, электроны атомов не могут участвовать в обмене энергией и не дают вклада в теплоёмкость.

Временное уравнение Шрёдингера. До сих пор рассматривались лишь возможные квантовые состояния системы и не рассматривалась эволюция системы во времени (её динамика), определяемая зависимостью волновой функции от времени. Полное решение задач К. м. должно давать волновую функцию ψ как функцию координат и времени t. Для одномерного движения она определяется уравнением

, (9)

являющимся уравнением движения в К. м. Это уравнение называется временным уравнением Шрёдингера. Оно справедливо и в том случае, когда потенциальная энергия зависит от времени: V = V (x, t).

Частными решениями уравнения (9) являются функции

. (10)

Здесь E - энергия частицы, а ψ(х) удовлетворяет стационарному уравнению Шрёдингера (7); для свободного движения ψ(х) является волной де Бройля eikx.

Волновые функции (10) обладают тем важным свойством, что соответствующие распределения вероятностей не зависят от времени, т.к. |ψ(x, t)|2 = |ψ(x)|2. Поэтому состояния, описываемые такими волновыми функциями, называемые стационарными; они играют особую роль в приложениях К. м.

Общее решение временного уравнения Шрёдингера представляет собой суперпозицию стационарных состояний. В этом общем (нестационарном) случае, когда вероятности существенно меняются со временем, энергия E не имеет определённого значения. Так, если

,

то E = с вероятностью ∣C12 и E = с вероятностью ∣C22. Для энергии и времени существует соотношение неопределенностей:

, (11)

где ΔE - дисперсия энергии, а Δt - промежуток времени, в течение которого энергия может быть измерена.

Трехмерное движение. Момент количества движения. До сих пор рассматривалось (ради простоты) одномерное движение. Обобщение на движение частицы в трех измерениях не содержит принципиально новых элементов. В этом случае волновая функция зависит от трех координат х, у, z (и времени): ψ = ψ (х, у, z, t), а волна де Бройля имеет вид

, (12)

где px, py, pz,- три проекции импульса на оси координат, а . Соответственно имеются при соотношения неопределенностей:

, , , (13)

Временное уравнение Шредингера имеет вид:

. (14)

Это уравнение принято записывать в символической форме

, (14, a)

где

- дифференциальный оператор, называемый оператором Гамильтона, или гамильтонианом.

Стационарным решением уравнения (14) является:

, (15)

где ψ0 - решение уравнения Шредингера для стационарных состояний:

= Eψ0 (16)

или

. (16,а)

При трёхмерном движении спектр энергии также может быть непрерывным и дискретным. Возможен и случай, когда несколько разных состояний имеют одинаковую энергию; такие состояния называются вырожденными. В случае непрерывного спектра частица уходит на бесконечно большое расстояние от центра сил. Но, в отличие от одномерного движения (когда были только две возможности - прохождение или отражение), при трёхмерном движении частица может удалиться от центра под произвольным углом к направлению первоначального движения, т. е. рассеяться. Волновая функция частицы теперь является суперпозицией не двух, а бесконечного числа волн де Бройля, распространяющихся по всевозможным направлениям. Рассеянные частицы удобно описывать в сферических координатах, т. е. определять их положение расстоянием от центра (радиусом) r и двумя углами - широтой θ и азимутом φ. Соответствующая волновая функция на больших расстояниях r от центра сил имеет вид:

. (17)

Первый член (пропорциональный волне де Бройля, распространяющейся вдоль оси z) описывает падающие частицы, а второй (пропорциональный "радиальной волне де Бройля") - рассеянные. Функция f (ϑ, φ) называется амплитудой рассеяния; она определяет так называемое дифференциальное сечение рассеяния dσ, характеризующее вероятность рассеяния под данными углами:

dσ = |f (ϑ, φ)|2dΩ, (18)

где dΩ - элемент телесного угла, в который происходит рассеяние.

Дискретный спектр энергии возникает, как и при одномерном движении, когда частица оказывается внутри потенциальной ямы. Энергетические уровни нумеруют квантовыми числами, причём, в отличие от одномерного движения, не одним, а тремя. Наибольшее значение имеет задача о движении в поле центральных сил притяжения. В этом случае также удобно пользоваться сферическими координатами.

Момент количества движения. Угловая часть движения (вращение) определяется в К. м., как и в классической механике, заданием момента количества движения, который при движении в поле центральных сил сохраняется. Но, в отличие от классической механики, в К. м. момент имеет дискретный спектр, т. е. может принимать только вполне определённые значения. Это можно показать на примере азимутального движения - вращения вокруг заданной оси (примем её за ось z). Волновая функция в этом случае имеет вид "угловой волны де Бройля" eimφ, где φ - азимут, а число m также связано с моментом Mz, как в плоской волне де Бройля волновое число k с импульсом р, т. е. m = Mz/h. Т. к. углы φ и φ + 2π описывают одно и то же положение, то и волновая функция при изменении φ на 2π должна возвращаться к прежнему значению. Отсюда вытекает, что m может принимать только целочисленные значения: m = 0, ± 1, ± 2,..., т. е. момент может быть равен

Mz = mh = 0, ± h, ± 2h,... (19)

Вращение вокруг оси z есть только часть углового движения (это проекция движения на плоскость ху), а Mz - не полный момент, а только его проекция на ось z. Чтобы узнать полный момент, надо определить две остальные его проекции. Но в К. м. нельзя одновременно точно задать все три составляющие момента. Действительно, проекция момента содержит произведение проекции импульса на соответствующее плечо (координату, перпендикулярную импульсу), а все проекции импульса и все плечи, согласно соотношениям неопределённостей (13), одновременно не могут иметь точные значения. Оказывается, что, кроме проекции Mz момента количества движения на ось z (задаваемой числом m), можно одновременно точно задать величину момента М, определяемую целым числом l:

M2 = h2l (l + 1), l = 0, 1, 2,... (20)

Т. о., угловое движение даёт два квантовых числа - l и m. Число l называют орбитальным квантовым числом, от него может зависеть значение энергии частицы (как в классической механике от вытянутости орбиты). Число m называют магнитным квантовым числом и при данном l может принимать значения m = 0, ± 1, ± 2,..., ± l - всего 2l + 1 значений; от m энергия не зависит, т.к. само значение m зависит от выбора оси z, а поле имеет сферическую симметрию. Поэтому уровень с квантовым числом l имеет (2l + 1)-кратное вырождение. Энергия уровня начинает зависеть от m лишь тогда, когда сферическая симметрия нарушается, например при помещении системы в магнитное поле (Зеемана эффект).

При заданном моменте радиальное движение похоже на одномерное движение с тем отличием, что вращение вызывает центробежные силы. Их учитывают введением (кроме обычного потенциала) центробежного потенциала, который имеет вид М2/2mr2, как и в классической механике (здесь m - масса частицы), При этом квадрат момента M2 следует заменять на величину h2l (l + 1). Решение уравнения Шрёдингера для радиальной части волновой функции атома определяет его уровни энергии и вводит третье квантовое число - радиальное nr или главное n, которые связаны соотношением n = nr + l + 1, nr = 0, 1, 2,..., n = 1, 2, 3,... В частности, для движения электрона в кулоновском поле ядра с зарядом Ze (водородоподобный атом) уровни энергии определяются формулой

En = , (21)

т. е. энергия зависит только от главного квантового числа n. Для многоэлектронных атомов в которых каждый электрон движется не только в поле ядра, но и в поле остальных электронов, уровни энергии зависят также и от l.

На рис. 3 в статье Атом приведены радиальные и угловые распределения электронной плотности (т. е. плотности вероятности или плотности заряда) вокруг ядра. Видно, что задание момента (т. е. чисел l и m) полностью определяет угловое распределение. В частности, при l = 0 (M2 = 0) распределение электродной плотности сферически симметрично. Т. о., квантовое движение при малых l, совершенно непохоже на классическое. Так, сферически симметричное состояние со средним значением радиуса r ≠ 0 в некоторой степени, отвечает как бы классическому движению по круговой орбите (или по совокупности круговых орбит, наклоненных под разными углами), т. е. движению с ненулевым моментом (нулевой момент в классической механике соответствует нулевому плечу, а здесь плечо r ≠ 0). Это различие между квантовомеханическим и классическим движением является следствием соотношения неопределённостей и может быть истолковано на его основе. При больших квантовых числах (например, при l >> 1, nr >> 1) длина волны де Бройля становится значительно меньше расстояний L, характерных для движения данной системы:

(22)

В этом случае квантовомеханические законы движения приближённо переходят в классические законы движения по определённым траекториям, подобно тому, как законы волновой оптики в аналогичных условиях переходят в законы геометрической оптики (описывающей распространение света с помощью лучей). Условие малости длины де-бройлевской волны (22) означает, что pL >> h, где pL по порядку величины равно классическому действию для системы. В этих условиях квант действия ħ можно считать очень малой величиной, т. е. формально переход квантовомеханических законов в классические осуществляется при ħ → 0. В этом пределе исчезают все специфические квантовомеханические явления, например обращается в нуль вероятность туннельного эффекта.

Спин. В К. м. частица (как сложная, например ядро, так и элементарная, например электрон) может иметь собственный момент количества движения, называемый спином частицы. Это означает, что частице можно приписать квантовое число (s), аналогичное орбитальному квантовому числу l. Квадрат собственного момента количества движения имеет величину ħ2s (s + 1), а проекция момента на определённое направление может принимать 2s + 1 значений от -ħs до + ħs с интервалом ħ. Т. о., состояние частицы (2s + 1) кратно вырождено. Поэтому волна де Бройля частицы со спином аналогична волне с поляризацией: при данной частоте и длине волны она имеет 2s + 1 поляризаций. Число таких поляризаций может быть произвольным целым числом, т. е. спиновое квантовое число s может быть как целым (0, 1, 2,...), так и полуцелым (1/2, 3/2, 5/2,...) числом. Спин электрона, протона и нейтрона равен 1/2 (в единицах ħ). Спин ядер, состоящих из чётного числа нуклонов (протонов и нейтронов), - целый или нулевой, а из нечётного - полуцелый. Отметим, что для фотона соотношение между числом поляризаций и спином (который равен 1) другое: фотон не имеет массы покоя, а (как показывает релятивистская К. м.) для таких частиц число поляризаций равно двум (а не 2s + 1 = 3).

Системы многих частиц. Тождественные частицы. Квантовомеханичское уравнение движения для системы N частиц получается соответствующим обобщением уравнения Шредингера для одной частицы. Оно содержит потенциальную энергию, зависящую от координат всех N частиц, и включает как воздействие на них внешнего поля, так и взаимодействие частиц между собой. Волновая функция также является функцией от координат всех частиц. Её можно рассматривать как волну в 3N-мерном пространстве; следовательно, наглядная аналогия с распространением волн в обычном пространстве утрачивается. Но это теперь несущественно, поскольку известен смысл волновой функции как амплитуды вероятности.

Если квантовомеханические системы состоят из одинаковых частиц, то в них наблюдается специфическое явление, не имеющее аналогии в классической механике. В классической механике случай одинаковых частиц тоже имеет некоторую особенность. Пусть, например, столкнулись две одинаковые классические частицы (первая двигалась слева, а вторая - справа) и после столкновения разлетелись в разные стороны (например, первая - вверх, вторая - вниз). Для результата столкновения не имеет значения, какая из частиц пошла, например, вверх, поскольку частицы одинаковы, - практически надо учесть обе возможности (рис. 7, а и 7, б). Однако в принципе в классической механике можно различить эти два процесса, т.к. можно проследить за траекториями частиц во время столкновения. В К. м. траекторий, в строгом смысле этого слова, нет, и область столкновения обе частицы проходят с некоторой неопределённостью, с "размытыми траекториями" (рис. 7, в).

В процессе столкновения области размытия перекрываются и невозможно даже в принципе различить эти два случая рассеяния. Следовательно, одинаковые частицы становятся полностью неразличимыми - тождественными. Не имеет смысла говорить о двух разных случаях рассеяния, есть только один случай - одна частица пошла вверх, другая - вниз, индивидуальности у частиц нет.

Этот квантовомеханический принцип неразличимости одинаковых частиц можно сформулировать математически на языке волновых функций. Обнаружение частицы в данном месте пространства определяется квадратом модуля волновой функции, зависящей от координат обеих частиц, |ψ(1, 2)|2 где 1 и 2 означают совокупность координат (включая и спин) соответственно первой и второй частицы. Тождественность частиц требует, чтобы при перемене местами частиц 1 и 2 вероятности были одинаковыми, т. е.

|ψ(1, 2)|2 = |ψ(2, 1)|2 (23)

Отсюда следует, что может быть два случая:

ψ(1, 2) = ψ(2, 1) (24, а)

ψ(1, 2) = - ψ(2, 1) (24, б)

Если при перемене частиц местами волновая функция не меняет знака, то она называется симметричной . Т. к. все взаимодействия одинаковых частиц симметричны относительно переменных 1, 2, то свойства симметрии или антисимметрии волновой функции сохраняются во времени.

В системе из произвольного числа тождественных частиц должна иметь место симметрия или антисимметрия относительно перестановки любой пары частиц. Поэтому свойство симметрии или антисимметрии является характерным признаком данного сорта частиц. Соответственно, все частицы делятся на два класса: частицы с симметричными волновыми функциями называемыми Бозонами, с антисимметричными - Фермионами. Существует связь между значением спина частиц и симметрией их волновых функций: частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым - фермионами (так называемая связь спина и статистики; см. ниже). Это правило сначала было установлено эмпирически, а затем доказано В. Паули теоретически (оно является одной из основных теорем релятивистской К. м.). В частности, электроны, протоны и нейтроны являются фермионами, а фотоны, Пи-мезоны, К-мезоны - бозонами. Сложные частицы, состоящие из фермионов, являются фермионами, если состоят из нечётного числа частиц, и бозонами, если состоят из чётного числа частиц; этими свойствами обладают, например, атомные ядра.

Свойства симметрии волновой функции существенно определяют статистические свойства системы. Пусть, например, невзаимодействующие тождественные частицы находятся в одинаковых внешних условиях (например, во внешнем поле). Состояние такой системы можно определить, задав Числа заполнения - числа частиц, находящихся в каждом данном (индивидуальном) состоянии, т. е. имеющих одинаковые наборы квантовых чисел. Но если тождественные частицы имеют одинаковые квантовые числа, то их волновая функция симметрична относительно перестановки частиц. Отсюда следует, что два одинаковых фермиона, входящих в одну систему, не могут находиться в одинаковых состояниях, т.к. для фермионов волновая функция должна быть антисимметричной. Это свойство называется принципом запрета Паули. Т. о., числа заполнения для фермионов могут принимать лишь значения 0 или 1. Т. к. электроны являются фермионами, то принцип Паули существенно влияет на поведение электронов в атомах, в металлах и т.д. Для бозонов (имеющих симметричную волновую функцию) числа заполнения могут принимать произвольные целые значения. Поэтому с учётом квантовомеханических свойств тождественных частиц существует два типа статистик частиц: Ферми - Дирака статистика (См. Ферми - Дирака статистика) для фермионов и Бозе - Эйнштейна статистика для бозонов. Примером системы, состоящей из фермионов (ферми-системы), является электронный газ в металле, примером бозе-системы - газ фотонов (т. е. равновесное электромагнитное излучение), жидкий 4Не и др.

Принцип Паули является определяющим для понимания структуры периодической системы элементов Менделеева. В сложном атоме на каждом уровне энергии может находиться число электронов, равное кратности вырождения этого уровня (числу разных состояний с одинаковой энергией). Кратность вырождения зависит от орбитального квантового числа и от спина электрона; она равна

(2l + 1) (2s + 1) = 2(2l + 1).

Так возникает представление об электронных оболочках атома, отвечающих периодам в таблице элементов Менделеева (см. Атом).

Обменное взаимодействие. Молекула. Молекула представляет собой систему ядер и электронов, между которыми действуют электрические (кулоновские) силы (притяжения и отталкивания). Т. к. ядра значительно тяжелее электронов, электроны движутся гораздо быстрее и образуют некоторое распределение отрицательного заряда, в поле которого находятся ядра. В классической механике и электростатике доказывается, что такого типа система не имеет устойчивого равновесия. Поэтому, даже если принять устойчивость атомов (которую, как говорилось выше, нельзя объяснить на основе законов классической физики), невозможно без специфически квантовомеханических закономерностей объяснять устойчивость молекул. Особенно непонятным с точки зрения классических представлений является существование молекул из одинаковых атомов, т. е. с так называемой ковалентной химической связью (например, простейшей молекулы - H2). Оказалось, что свойство антисимметрии электронной волновой функции так изменяет характер взаимодействия электронов, находящихся у разных ядер, что возникновение такой связи становится возможным.

Рассмотрим для примера молекулу водорода H2, состоящую из двух протонов и двух электронов. Волновая функция такой системы представляет собой произведение двух функций, одна из которых зависит только от координат, а другая - только от спиновых переменных обоих электронов. Если суммарный спин двух электронов равен нулю (спины антипараллельны), спиновая функция антисимметрична относительно перестановки спиновых переменных электронов. Следовательно, для того чтобы полная волновая функция в соответствии с принципом Паули была антисимметричной, координатная функция должна быть симметричной относительно перестановки координат обоих электронов. Это означает, что координатная часть волновой функции имеет вид:

, (25)

где ψa (i), ψb (i) - волновые функции i-го электрона (i = 1, 2) соответственно у ядра а и b.

Кулоновское взаимодействие пропорционально плотности электрического заряда ρ = e|ψ|2 = eψ*ψ). При учёте свойств симметрии координатной волновой функции (25), помимо плотности обычного вида

, ,

соответствующих движению отдельных электронов у разных ядер, появляется плотность вида

,

.

Она называется обменной плотностью, потому что возникает как бы за счёт обмена электронами между двумя атомами. Именно эта обменная плотность, приводящая к увеличению плотности отрицательного заряда между двумя положительно заряженными ядрами, и обеспечивает устойчивость молекулы в случае ковалентной химической связи.

Очевидно, что при суммарном спине двух электронов, равном 1, координатная часть волновой функции антисимметрична, т. е. в (25) перед вторым слагаемым стоит знак минус, и обменная плотность имеет отрицательный знак; это означает, что обменная плотность будет уменьшать плотность отрицательного электрического заряда между ядрами, т. е. приводить как бы к дополнительному отталкиванию ядер.

Т. о., симметрия волновой функции приводит к "дополнительному" обменному взаимодействию (См. Обменное взаимодействие). Характерна зависимость обменного взаимодействия от спинов электронов. Непосредственно спины не участвуют во взаимодействии - источником взаимодействия являются электрические силы, зависящие только от расстояния между зарядами. Но в зависимости от ориентации спинов волновая функция, антисимметричная относительно полной перестановки двух электронов (вместе с их спинами), может быть симметричной или антисимметричной относительно перестановки только положения электронов (их координат). А от типа симметрии координатной части волновой функции зависит знак обменной плотности и, соответственно, эффективное притяжение или отталкивание частиц в результате обменного взаимодействия. Так, не участвуя непосредственно динамически во взаимодействии, спины электронов благодаря квантовомеханической специфике свойств тождественных частиц фактически определяют химическую связь.

Обменное взаимодействие играет существенную роль во многих явлениях. Оно объясняет, например, ферромагнетизм: благодаря обменному взаимодействию спиновые, а следовательно, и магнитные моменты атомов ферромагнетика выстраиваются параллельно друг другу. Огромное число явлений в конденсированных телах (жидкости, твёрдом теле) тесно связано со статистикой образующих их частиц и с обменным взаимодействием. Условие антисимметрии волновой функции для фермионов приводит к тому, что фермионы при большой плотности как бы эффективно отталкиваются друг от друга (даже если между ними не действуют никакие силы). В то же время между бозонами, которые описываются симметричными волновыми функциями, возникают как бы силы притяжения: чем больше бозонов находится в каком-либо состоянии, тем больше вероятность перехода др. бозонов системы в это состояние (подобного рода эффекты лежат, например, в основе явлений сверхтекучести и сверхпроводимости, принципа работы квантовых генераторов (См. Квантовый генератор) и квантовых усилителей (См. Квантовый усилитель)).

Математическая схема квантовой механики. Нерелятивистская К. м. может быть построена на основе немногих формальных принципов. Математический аппарат К. м. обладает логической безупречностью и изяществом. Чёткие правила устанавливают соотношение между элементами математической схемы и физическими величинами.

Первым основным понятием К. м. является квантовое состояние. Выбор математического аппарата К. м. диктуется физическим принципом суперпозиции квантовых состояний, вытекающим из волновых свойств частиц. Согласно этому принципу, суперпозиция любых возможных состояний системы, взятых с произвольными (комплексными) коэффициентами, является также возможным состоянием системы. Объекты, для которых определены понятия сложения и умножения на комплексное число, называется векторами. Т. о., принцип суперпозиции требует, чтобы состояние системы описывалось некоторым вектором - вектором состояния (с которым тесно связано понятие амплитуды вероятности, или волновой функции), являющимся элементом линейного "пространства состояний". Это позволяет использовать математический аппарат, развитый для линейных (векторных) пространств. Вектор состояния обозначается по П. Дираку |ψ〉.

Кроме сложения и умножения на комплексное число, вектор |ψ〉 может подвергаться ещё двум операциям. Во-первых, его можно проектировать на др. вектор, т. е. составить скалярное произведение |ψ〉 с любым др. вектором состояния |Ψ'〉; оно обозначается как и является комплексным числом, причём

<ψ'|ψ> = <ψ|ψ'>*. (26)

Скалярное произведение вектора |ψ〉 с самим собой, , - положительное число; оно определяет длину (норму) вектора. Длину вектора состояния удобно выбрать равной единице; его общий фазовый множитель произволен. Различные состояния отличаются друг от друга направлением вектора состояния в пространстве состояний.

Во-вторых, можно рассмотреть операцию перехода от вектора |ψ〉 к др. вектору |Ψ'〉 (или произвести преобразование ). Символически эту операцию можно записать как результат действия на вектор |ψ〉 некоторого линейного Оператора L̂:

(27)

При этом вектор |Ψ'〉 может отличаться от |ψ〉 "длиной" и "направлением". Линейные операторы, в силу принципа суперпозиции состояний, имеют в К. м. особое значение; в результате воздействия линейного оператора на суперпозицию произвольных векторов и получается суперпозиция преобразованных векторов:

. (28)

Важную роль для оператора играют такие векторы , для которых |Ψ'〉 совпадает по направлению с |ψ〉, т. е.

(29)

Векторы |Ψ2〉 называют собственными векторами оператора , а числа λ - его собственными значениями. Собственные векторы |Ψ2〉 принято обозначать просто |λ〉, т. е. . Собственные значения λ образуют либо дискретный ряд чисел (тогда говорят, что оператор имеет дискретный спектр), либо непрерывный набор (непрерывный спектр), либо частично дискретный, частично непрерывный.

Очень важный для К. м. класс операторов составляют линейные эрмитовы операторы (См. Эрмитов оператор). Собственные значения λ эрмитового оператора вещественны. Собственные векторы эрмитового оператора, принадлежащие различным собственным значениям, ортогональны друг к другу, т. е.

= 0. (30)

Из них можно построить ортогональный базис ("декартовы оси координат") в пространстве состояний. Удобно нормировать эти базисные векторы на 1, =1. Произвольный вектор |ψ〉 можно разложить по этому базису:

; . (31)

При этом:

, (32)

что эквивалентно теореме Пифагора; если |ψ〉 нормирован на 1, то

. (33)

Принципиальное значение для построения математического аппарата К. м. имеет тот факт, что для каждой физической величины существуют некоторые выделенные состояния системы, в которых эта величина принимает вполне определённое (единственное) значение. По существу это свойство является определением измеримой (физической) величины, а состояния, в которых физическая величина имеет определённое значение, называются собственными состояниями этой величины.

Согласно принципу суперпозиции, любое состояние системы может быть представлено в виде суперпозиции собственных состояний какой-либо физической величины. Возможность такого представления математически аналогична возможности разложения произвольного вектора по собственным векторам линейного эрмитового оператора. В соответствии с этим в К. м. каждой физической величине, или наблюдаемой, L (координате, импульсу, моменту количества движения, энергии и т.д.) ставится в соответствие линейный эрмитов оператор . Собственное значение λ оператора интерпретируются как возможные значения физической величины L, проявляющиеся при измерениях. Если вектор состояния |ψ〉 - собственный вектор оператора , то физическая величина L имеет определённое значение. В противном случае L принимает различные значения λ с вероятностью |cλ|2, где cλ - коэффициент разложения |ψ〉 по |λ〉:

. (34)

Коэффициент cλ= разложения |ψ〉 в базисе |λ〉 называется также волновой функцией в λ-представлении. В частности, волновая функция ψ(х) представляет собой коэффициент разложения |ψ〉 по собственным векторам оператора координаты .

Среднее значение наблюдаемой L в данном состоянии определяется коэффициентами сλ, согласно общему соотношению между вероятностью и средним значением

.

Значение можно найти непосредственно через оператор и вектор состояния |ψ〉 (без определения коэффициентов сλ) по формуле:

. (35)

Вид линейных эрмитовых операторов, соответствующих таким физическим величинам, как импульс, момент количества движения, энергия, постулируется на основе общих принципов определения этих величин и Соответствия принципа, требующего, чтобы в пределе 0 рассматриваемые физические величины принимали "классические" значения. Вместе с тем в К. м. вводятся некоторые линейные эрмитовы операторы (например, отвечающие преобразованию векторов состояния при отражении осей координат, перестановке одинаковых частиц и т.д.), которым соответствуют измеримые физические величины, не имеющие классических аналогов (например, Чётность).

С операторами можно производить алгебраические действия сложения и умножения. Но, в отличие от обыкновенных чисел (которые в К. м. называют с-числами), операторы являются такими "числами" (q-числами), для которых операция умножения некоммутативна. Если и - два оператора, то в общем случае их действие на произвольный вектор |ψ〉 в различном порядке даёт разные векторы: , т. е. . Величина обозначается как и называется коммутатором. Только если два оператора переставимы (коммутируют), т. е. , у них могут быть общие собственные векторы и, следовательно, наблюдаемые L и М могут одновременно иметь определённые (точные) значения λ и μ. В остальных случаях эти величины не имеют одновременно определённых значений, и тогда они связаны соотношением неопределённостей. Можно показать, что, если , то ΔLΔM ≥ |c|/2, где ΔL и ΔМ - среднеквадратичные отклонения от средних для соответствующих величин.

Возможна такая математическая формулировка, в которой формальный переход от классической механики к К. м. осуществляется заменой с-чисел соответствующими q-числами. Сохраняются и уравнения движения, но теперь это уравнения для операторов. Из этой формальной аналогии между К. м. и классической механикой можно найти основные коммутационные (перестановочные) соотношения. Так, для координаты и импульса . Отсюда следует соотношение неопределённостей Гейзенберга . Из перестановочных соотношений можно получить, в частности, явный вид оператора импульса, в координатном (х-) представлении. Тогда волновая функция есть ψ(х), а оператор импульса - дифференциальный оператор

, т. е. .

Можно показать, что спектр его собственных значений непрерывен, а амплитуда вероятности есть де-бройлевская волна ( - собственный вектор оператора импульса ). Если задана энергия системы как функция координат и импульсов частиц, Н (р, х), то знание коммутатора достаточно для нахождения , а также уровней энергии как собственных значений оператора полной энергии .

На основании определения момента количества движения Mz = хру - урх,... можно получить, что . Эти коммутационные соотношения справедливы и при учёте спинов частиц; их оказывается достаточно для определения собственного значения квадрата полного момента: , где квантовое число j - целое или полуцелое число, и его проекции Ml = mħ, m = -j, -j + 1, ..., + j.

Уравнения движения квантовомеханической системы могут быть записаны в двух формах: в виде уравнения для вектора состояния

(36)

- шрёдингеровская форма уравнения движения, и в виде уравнения для операторов (q-чисел)

(37)

- гейзенберговская форма уравнений движения, наиболее близкая классической механике. Из гейзенберговской формы уравнений движения, в частности, следует, что средние значения физических величин изменяются по законам классической механики; это положение называется теоремой Эренфеста.

Для логической структуры К. м. характерно присутствие двух совершенно разнородных по своей природе составляющих. Вектор состояния (волновая функция) однозначно определён в любой момент времени, если задан в начальный момент. В этой части теория вполне детерминистична. Но вектор состояния не есть наблюдаемая величина. О наблюдаемых на основе знания |ψ〉 можно сделать лишь статистические (вероятностные) предсказания. Результаты индивидуального измерения над квантовым объектом в общем случае, строго говоря, непредсказуемы. Предпринимались попытки восстановить идею полного детерминизма в классическом смысле введением предположения о неполноте квантовомеханического описания. Например, высказывалась гипотеза о наличии у квантовых объектов дополнительных степеней свободы - "скрытых параметров", учёт которых сделал бы поведение системы полностью детерминированным в смысле классической механики; неопределённость возникает только вследствие того, что эти "скрытые параметры" неизвестны и не учитываются. Однако Дж. Нейман доказал теорему о невозможности нестатистической интерпретации К. м. при сохранении её основного положения о соответствии между наблюдаемыми (физическими величинами) и операторами.

Лит.: Классич. труды - Гейзенберг В., Физические принципы квантовой теории, Л. - М., 1932; Дирак П., Принципы квантовой механики, пер. с англ., М., 1960; Паули В., Общие принципы волновой механики, пер. с нем., М. - Л., 1947; Нейман И., Математические основы квантовой механики, пер. с нем., М., 1964. Учебники - Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М., Квантовая механика, 2 изд., М., 1963 (Теоретическая физика, т. 3); Блохинцев Д. И., Основы квантовой механики, 4 изд., М., 1963; Давыдов А. С., Квантовая механика, М., 1963; Соколов А. А., Лоскутов Ю. М., Тернов И. М., Квантовая механика, М., 1962; Бом Д., Квантовая теория, пер. с англ., М., 1961; Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М., Фейнмановские лекции по физике, пер. с англ., в. 8 и 9, М.,1966-67; Шифф Л., Квантовая механика, пер. с англ., 2 изд., М., 1959; Ферми Э., Квантовая механика, пер. с англ., М., 1965. Популярные книги - Борн М., Атомная физика, пер. с англ., 3 изд., М., 1970; Пайерлс Р. Е., Законы природы, пер. с англ., 2 изд., М., 1962.

В. Б. Берестецкий.

Рис. 1 к ст. Квантовая механика.

Рис. 2 к ст. Квантовая механика.

Рис. 3 к ст. Квантовая механика.

Рис. 4 к ст. Квантовая механика.

Рис. 5 к ст. Квантовая механика.

Рис. 6 к ст. Квантовая механика.

Рис. 7 к ст. Квантовая механика.

Классическая механика Искать примеры произношения

Механика, в основе которой лежат Ньютона законы механики и предметом изучения которой является движение макроскопических материальных тел, совершаемое со скоростями, малыми по сравнению со скоростью света. Движения частиц со скоростями порядка скорости света рассматриваются в относительности теории (См. Относительности теория), а движения микрочастиц изучаются в квантовой механике (См. Квантовая механика).

Механика грунтов Искать примеры произношения

научная дисциплина, изучающая напряженно-деформированное состояние Грунтов, условия их прочности, давление на ограждения, устойчивость грунтовых массивов и др. В М. г. рассматривается зависимость механических свойств грунтов от их строения и физического состояния, исследуются общая сжимаемость грунтов, их структурно-фазовая деформируемость, контактная сопротивляемость сдвигу. Результаты, полученные в М. г., используются при проектировании оснований и фундаментов зданий, промышленных и гидротехнических сооружений, в дорожном и аэродромном строительстве, устройстве подземных коммуникаций, прокладке трубопроводов, а также для прогнозирования деформаций и устойчивости откосов, подпорных стен и др. Методы М. г. применяются при рассмотрении задач об использовании взрывов и вибраций в производственных процессах, связанных с разработкой грунтов.

Основной вид деформации грунтов - уплотнение их при сжатии. Оно вызывается действием нормальных усилий, приложенных к элементу грунта, и происходит главным образом за счёт взаимного перемещения (сдвигов и поворотов) твёрдых минеральных частиц, вызывающего уменьшение пористости грунта. Характеристиками деформируемости грунтов служат коэффициент относительной сжимаемости или обратно пропорциональный ему модуль общей деформации и коэффициент относительной поперечной деформации, аналогичные модулю упругости и коэффициент Пуассона (см. Пуассона коэффициент) упругих тел, с той разницей, что нагружение грунта предполагается однократным (без последующей разгрузки) и грунт далёк от разрушения. Для грунтов характерна деформируемость их во времени как вследствие выжимания воды из пор грунта и вызываемого этим перераспределения давлений между поровой водой и грунтовым скелетом (процесс фильтрационной консолидации), так и в результате вязкого взаимного перемещения грунтовых частиц (процесс ползучести грунта).

Основной вид нарушения прочности грунта - смещение одной его части по отношению к другой вследствие незатухающего сдвига, переходящего в срез. Сопротивление срезу несвязных (сыпучих) грунтов обусловливается силами внутреннего трения, развивающегося в точках контакта частиц грунта при взаимном их смещении. В глинистых грунтах взаимному смещению препятствуют цементационные и водно-коллоидные связи, обусловливающие сопротивление срезу. Показатели прочности грунта - угол внутреннего трения и удельное сцепление (зависящие от физического состояния грунта) - являются лишь параметрами диаграммы среза, необходимыми в М. г. для расчёта прочности. Для глинистых грунтов величина сил внутреннего трения зависит от той доли внешней нагрузки, которая воспринимается их минеральным скелетом. Если часть нагрузки передаётся на поровую воду, то в грунте проявляется уменьшенное сопротивление срезу за счёт трения. В М. г. скорость движения воды в порах грунта описывается законом Дарси, скорость деформирования вязкопластичных межчастичных связей - интегральным уравнением теории наследственной ползучести Больцмана - Вольтерры, ядро которой устанавливается по результатам экспериментов. При вибрациях механические свойства грунтов (особенно несвязных) меняются в зависимости от интенсивности колебаний. Малосвязные грунты под действием вибраций в определённых условиях приобретают свойства вязких жидкостей.

В М. г. при построении прогнозов пользуются данными инженерной геологии (См. Инженерная геология), инженерной гидрогеологии (См. Инженерная гидрогеология), а также исходными зависимостями механики сплошной среды (См. Механика сплошной среды) и, в частности, - теорий упругости, пластичности, ползучести, статики сыпучей среды.

Задачи исследования напряжений и деформаций грунтовых массивов под действием внешних сил и собственного веса, разработка вопросов их прочности, устойчивости, давления грунтов на ограждения, а также на неглубоко расположенные подземные сооружения являются важнейшими в М. г.; решение их для различных случаев загружения имеет непосредственное приложение в практике строительства.

При рассмотрении поставленных проблем в М. г. в основном применяются 2 метода: расчётно-теоретический, основывающийся на математическом решении четко сформулированных задач М. г. с обязательным опытным (лабораторным или полевым) определением значений исходных параметров, и метод моделирования, используемый в тех случаях, когда сложность задачи не позволяет получить "замкнутого" решения или когда результат получается весьма громоздким. Первый метод интенсивно развивается благодаря применению ЭВМ. Второй метод (впервые предложенный в СССР Г. И. Покровским и Н. Н. Давиденковым) получает развитие в М. г. в двух направлениях: физического моделирования для задач, в которых не учитываются массовые силы, и центробежного моделирования, отвечающего требованиям теории подобия (см. Подобия теория) с учётом массовых сил.

Использование решений, основанных на уравнениях сплошной линейно-деформируемой среды и применяемых к грунтам лишь при определённых условиях, позволяет рассматривать многие задачи М. г., где напряжённое состояние не является предельным. В ряде случаев по теории линейно-деформируемой среды устанавливается лишь напряжённое состояние, а переход к деформациям осуществляется при помощи экспериментально определяемых зависимостей.

При рассмотрении задач о деформировании грунтов во времени (по теории фильтрационной консолидации или ползучести) применяется распределение напряжений, полученное на основе решения задачи для сплошной линейно-деформируемой среды.

Теория предельного равновесия сыпучих сред используется в М. г. для рассмотрения задач, связанных с определением критических нагрузок на основания, предельного равновесия грунтового откоса заданного профиля, очертания максимально устойчивых откосов без пригрузки или с заданной пригрузкой сверху, активного и пассивного давлений грунтов на наклонные подпорные стенки, устойчивости грунтовых сводов и др.

Некоторые виды грунтов, являясь структурно неустойчивыми (оттаивающие вечномёрзлые, лёссовые просадочные при замачивании, слабые структурные), обладают особенностями деформирования, связанными с резкими изменениями их физического состояния и структуры. В современных М. г. разработаны специальные методы расчёта осадок вечномёрзлых грунтов при их оттаивании, просадок лёссов при замачивании, устанавливаются предельные скорости загружения слабых глинистых и заторфованных грунтов из условия сохранения их структурной прочности и т. д. На основе научных достижений в области М. г. в СССР создан наиболее прогрессивный метод проектирования оснований и фундаментов по предельным деформациям. Важной задачей современной М. г. является дальнейшее совершенствование методов определения физико-механических свойств грунтов в лабораторных и полевых условиях, комплексного исследования совместной работы фундаментов сооружений и грунтов оснований, расчёта свайных фундаментов.

Первой фундаментальной работой по М. г. является исследование французского учёного Ш. Кулона (1773) по теории сыпучих тел, ряд результатов которого успешно применяется и в настоящее время при расчёте давления грунтов на подпорные стенки. Французским учёным Ж. Буссинеском было получено решение задачи (1885) о распределении напряжений в упругом полупространстве под сосредоточенной силой, послужившее основой для определения напряжений в линейно-деформируемых основаниях. Важным этапом в развитии М. г. явились исследования американского учёного К. Терцаги. Большой вклад в М. г. сделан русскими (В. И. Курдюмов, П. А. Миняев) и особенно советскими учёными. Последними разработана новейшая теория предельного равновесия грунтов (В. В. Соколовский, В. Г. Березанцев, С. С. Голушкевич, М. В. Малышев и др.), сформулированы и решены задачи теории консолидации двух- и трёхфазных грунтов (Н. М. Герсеванов и Д. Е. Польшин, В. А. Флорин, Н. А. Цытович, Н. Н. Маслов, Ю. К. Зарецкий и др.)., на базе теории балок на упругом основании исследованы вопросы совместной работы сооружений и их оснований (А. Н. Крылов, М. И. Горбунов-Посадов, В. А. Флорин, Б. Н. Жемочкин, А. П. Синицын, И. А. Симвулиди и др.). Важная роль принадлежит советским учёным в разработке ряда вопросов механики отдельных региональных видов грунтов - структурно-неустойчивых просадочных (Ю. М. Абелев, Н. Я. Денисов, Р. А. Токарь), многолетнемёрзлых (Н. А. Цытович, С. С. Вялов, М. Н. Гольдштейн и др.). Среди исследований по вопросам устойчивости откосов наиболее известны работы В. В. Соколовского, Н. Н. Маслова, М. Н. Гольдштейна, подпорных стенок - И. П. Прокофьева, Г. К. Клейна. Из зарубежных учёных в области М. г. наиболее известны своими работами: Ж. Керизель (Франция), И. Бринч-Хансен (Дания), Р. Гибсон, А. Бишоп (Великобритания), М. Био, У. Лэмб (США).

Научно-исследовательские работы по М. г. ведутся в ряде научных учреждений и вузов СССР, преимущественно в Научно-исследовательском институте оснований и подземных сооружений им. Н. М. Герсеванова, Московском инженерно-строительном институте им. В. В. Куйбышева и др. строительных вузах.

В 1936 по инициативе К. Терцаги было создано Международное общество по механике грунтов и фундаментостроению (ISSMFE), членом которого (с 1957) является СССР. 8-й конгресс этого общества состоялся в Москве в 1973. Орган общества - журнал "Géotechnique" (L., c 1948). В СССР с 1959 издаётся журнал "Основания, фундаменты и механика грунтов". Периодические издания выпускаются также в США, Франции, Италии и др. странах.

Лит.: Прокофьев И. П., Давление сыпучего тела и расчёт подпорных стенок, 5 изд., М., 1947; Герсеванов Н. М., Польшин Д. Е., Теоретические основы механики грунтов и их практические применения, М., 1948; Флорин В. А., Основы механики грунтов, т. 1-2, Л. - М., 1959-1961; Соколовский В. В., Статика сыпучей среды, 3 изд., М., 1960; Терцаги К., Теория механики грунтов, пер. с нем., М., 1961; Цытович Н. А., Механика грунтов, 4 изд., М., 1963; его же, Механика грунтов. Краткий курс, 2 изд., М., 1973; Клейн Г. К., Расчёт подпорных стен, М., 1964; Гольдштейн М. Н., Механические свойства грунтов, 2 изд., , М., 1971-73.

Н. А. Цытович, М. В. Малышев.

Механика развития Искать примеры произношения

раздел биологии, изучающий причинные механизмы индивидуального развития организмов. Основанная в 80-х гг. 19 в. немецким учёным В. Ру М. р. бурно развивалась в 1-й трети 20 в. Начиная с 40-х гг. в результате сближения М. р., цитологии, генетики, эмбриологии, экспериментальной морфологии, биохимии и молекулярной биологии возникла синтетическая область исследования - Биология развития.

Небесная механика Искать примеры произношения

раздел астрономии, изучающий движения тел Солнечной системы в гравитационном поле. При решении некоторых задач Н. м. (например, в теории движения комет) учитываются также и негравитационные эффекты: реактивные силы, сопротивление среды, изменение массы и др. Важным разделом современной Н. м. является Астродинамика, исследующая движения искусственных небесных тел. Методы, разрабатываемые Н. м., используются также при изучении и др. небесных тел. Однако в современной астрономии такие вопросы, как изучение движении в системах двойных и кратных звёзд, статистические исследования закономерностей движения звёзд и галактик, относят к звёздной астрономии (См. Звёздная астрономия) и внегалактической астрономии (См. Внегалактическая астрономия).

Термин "Н. м." впервые введён П. Лапласом (1798), к этому разделу науки он относил теории равновесия и движения твёрдых и жидких тел, составляющих Солнечную систему (и ей подобные), под действием сил тяготения. В русской научной литературе раздел астрономии, посвященный этим проблемам, в течение долгого времени называлась теоретической астрономией. В английской литературе применяется также термин "динамическая астрономия",

Задачи Н. м. Решаемые Н. м. задачи разделяются на четыре большие группы:

1. Разработка общих вопросов движения небесных тел в гравитационном поле (так называемая задача n тел, частными случаями которой являются Трёх тел задача и Двух тел задача).

2. Построение математических теорий движения конкретных небесных тел как естественных, так и искусственных (планет, спутников, комет, космических зондов).

3. Сравнение теоретических исследований с астрономическими наблюдениями и определение таким путём числовых значений фундаментальных астрономических постоянных (См. Фундаментальные астрономические постоянные) (элементы орбит; массы планет; постоянные, связанные с вращением Земли, характеризующие фигуру Земли и её гравитационное поле, и др.).

4. Составление астрономических эфемерид (Ежегодники астрономические), которые концентрируют в себе результаты теоретических исследований в области Н. м. (а также астрометрии, звёздной астрономии, геодезии и др.) и фиксируют на каждый момент времени фундаментальную пространственно-временную систему отсчёта, необходимую для всех разделов науки, имеющих дело с измерением пространства и времени.

Так как общее математическое решение задачи n тел имеет очень сложный характер и не может быть использовано в конкретных вопросах, в Н. м. рассматриваются отдельные частные задачи, решение которых основывается на тех или иных особенностях Солнечной системы. Так, в первом приближении, движение планеты или кометы можно рассматривать как происходящее в поле тяготения одного только Солнца. В этом случае уравнения движения допускают решение в конечном виде (задача двух тел). Дифференциальные уравнения движения системы больших планет решаются с помощью разложения в математические рады (аналитические методы) или путём численного интегрирования (см. Возмущения небесных тел). Теория движения спутников во многих отношениях аналогична теории движения больших планет, однако, она имеет важную особенность: масса планеты, являющаяся в этом случае центральным телом, значительно меньше массы Солнца, вследствие чего его притяжение существенно возмущает движения спутников. На движение близких к планете спутников большое влияние оказывает также отклонение её формы от сферической. Особенностью движения Луны является то обстоятельство, что её орбита расположена целиком вне сферы действия тяготения Земли, т. е. за пределами той области, где притяжение Земли преобладает над притяжением Солнца. Поэтому при построении теории движения Луны приходится осуществлять больше последовательных приближений, чем в планетных задачах. В современной теории движения Луны за первое приближение принимается не задача двух тел, а так называемая задача Хилла (специальный случай задачи трёх тел), решение которой даёт промежуточную орбиту, более удобную для проведения процесса последовательных приближений, чем эллипс,

При применении аналитических методов в теории движения малых планет и комет возникают многочисленные трудности, связанные с тем, что орбиты этих небесных тел обладают значительными эксцентриситетами и наклонами. Кроме того, некоторые соотношения (соизмеримости) между средними движениями малых планет и Юпитера значительно усложняют их движение. Поэтому при изучении движения малых планет и комет широко используются численные методы. В движениях комет обнаружены так называемые негравитационные эффекты, т. е. отклонения их движении от вычисленных по закону всемирного тяготения. Эти аномалии в движениях комет, по-видимому, связаны с реактивными силами, возникающими вследствие испарения вещества ядра кометы при её приближении к Солнцу, а также и с рядом других ещё мало изученных факторов (сопротивление среды, уменьшение массы кометы, солнечный ветер, гравитационное взаимодействие с потоками частиц, выбрасываемых Солнцем, и др.; см. Кометы).

Особый раздел задач, стоящих перед Н. м., представляет изучение вращательного движения планет и спутников. Особо важное значение имеет теория вращения Земли, так как именно с Землёй связаны основные системы астрономических координат.

Теория фигур планет возникла в Н. м., однако, в современной науке изучение фигуры Земли является предметом геодезии (См. Геодезия) и геофизики (См. Геофизика), а строением др. планет занимается Астрофизика. Теория фигур планет и Луны стала особенно актуальной после запуска искусственных спутников Земли, Луны и Марса.

Классической задачей Н. м. является задача об устойчивости Солнечной системы. Эта проблема тесно связана с существованием вековых (непериодических) изменений больших полуосей, эксцентриситетов и наклонов планетных орбит. Методами небесной механики вопрос об устойчивости Солнечной системы не может быть полностью решен, так как математические ряды, используемые в задачах Н. м., пригодны только для ограниченного интервала времени. Кроме того, уравнения Н. м. не содержат такие малые факторы, как, например, непрерывная потеря Солнцем его массы, которые, однако, могут играть существенную роль на больших интервалах времени. Тем не менее, отсутствие вековых возмущений первого и второго порядков у больших полуосей планетных орбит позволяет утверждать неизменность конфигурации Солнечной системы в течение нескольких миллионов лет.

Исторический очерк. Н. м. принадлежит к числу древнейших наук. Уже в 6 в. до н. э. народы Древнего Востока обладали глубокими астрономическими знаниями, связанными с движением небесных тел. Но в течение многих веков это была только эмпирическая кинематика Солнечной системы. Основы современной Н. м. были заложены И. Ньютоном в "Математических началах натуральной философии" (1687). Закон тяготения Ньютона далеко не сразу получил всеобщее признание. Однако уже к середине 18 в. выяснилось, что он хорошо объясняет наиболее характерные особенности движения тел Солнечной системы (Ж. Д'Аламбер, А. Клеро). В работах Ж. Лагранжа и П. Лапласа были разработаны классические методы теории возмущений. Первая современная теория движения больших планет была построена У. Леверье в середине 19 в. Эта теория лежит до сих пор в основе французского национального астрономического ежегодника. В работах Леверье было впервые указано на необъяснимое законом Ньютона вековое смещение перигелия Меркурия, которое оказалось через 70 лет важнейшим наблюдательным подтверждением общей теории относительности.

Дальнейшее развитие теория больших планет получила в конце 19 в. в работах американских астрономов С. Ньюкома и Дж. Хилла (1895-98). Работы Ньюкома открыли новый этап в развитии Н. м. Он впервые обработал ряды наблюдений, охватывающие длительные интервалы времени и на этой основе получил систему астрономических постоянных, которая Только незначительно отличается от системы, принятой в 70-х гг. 20 в. Чтобы согласовать теорию с наблюдаемым движением Меркурия, Ньюком решил прибегнуть к гипотезе А. Холла (1895), который для объяснения невязок в движении больших планет предложил изменить показатель степени в законе тяготения Ньютона. Ньюком принял показатель степени равным 2,000 000 161 20. Закон Холла сохранялся в астрономических ежегодниках до 1960, когда он был, наконец, заменен релятивистскими поправками, вытекающими из общей теории относительности (см. ниже). Продолжая традиции Ньюкома и Хилла, Бюро американских эфемерид (Вашингтонская морская обсерватория) под руководством Д. Брауэра и Дж. Клеменса в течение 40-х и 50-х гг. 20 в. осуществило обширные работы по переработке планетных теорий. В частности, в результате этой работы в 1951 были опубликованы "Координаты пяти внешних планет", что явилось важным шагом в исследовании орбит внешних планет. Эта работа была первым успешным применением электронных вычислительных машин в фундаментальной астрономической задаче. В СССР в 1964 была разработана аналитическая теория движения Плутона. Современная теория движения больших планет имеет настолько высокую точность, что путём сравнения теории с наблюдениями удалось подтвердить смещения планетных перигелиев, вытекающие из общей теории относительности, не только для Меркурия, но также для Венеры, Земли и Марса (см. табл.).

Вековые смещения планетных перигелиев

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| Планета | Наблюдаемые | Смещения, вычисленные по |

| | смещения | общей теории относительности |

|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Меркурий | 43,11" ± 0,45" | 43,03" |

|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Венера | 8,4 ± 4,8 | 8,6 |

|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Земля | 5,0 ± 1,2 | 3,8 |

|-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------|

| Марс | 1,1 ± 0,3 | 1,4 |

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Первые теории движения Луны были разработаны А. Клеро, Ж. Д'Аламбером, Л. Эйлером и П. Лапласом. Наиболее совершенной с практической точки зрения была теория немецкого астронома П. Ганзена (1857), которая использовалась в астрономических ежегодниках с 1862 по 1922. В 1867 была опубликована аналитическая теория движения Луны, разработанная французским астрономом Ш. Делоне. Современная теория Луны основана на работах Дж. Хилла (1886). Построение таблиц Луны на основе метода Хилла было начато в 1888 американским астрономом Э. Брауном. В 1919 три тома таблиц вышли в свет и в астрономических ежегодниках на 1923 впервые была дана эфемерида Луны, основанная на таблицах Брауна. Для того чтобы согласовать теорию и наблюдения, Браун должен был (также как и Ганзен) ввести в разложения координат эмпирический член, который никак не объяснялся гравитационной теорией движения Луны. Только в 30-е гг. 20 в. окончательно выяснилось, что эмпирический член отражает эффект неравномерного вращения Земли в движении небесных тел. С 1970 эфемерида Луны в астрономических ежегодниках вычисляется непосредственно по тригонометрическим рядам Брауна без помощи таблиц.

Актуальное значение приобрела теория движения спутников больших планет, в первую очередь спутников Марса и Юпитера. Теория движения четырёх спутников Юпитера была разработана ещё Лапласом. В теории, предложенной В. де Ситтером (1919) и используемой в астрономических ежегодниках, учитываются сжатие Юпитера, солнечные возмущения и взаимные возмущения спутников. Внешние спутники Юпитера изучались в Институте теоретической астрономии АН СССР. Эфемериды этих спутников до 2000 года вычислены американским астрономом П. Хергетом (1968) с помощью численного интегрирования. Теория движения спутников Сатурна, основанная на классических методах, была построена немецким астрономом Г. Струве (1924-33). Устойчивость спутниковых систем рассмотрена в работах японского астронома Ю. Хагихара (1952). Советский математик М. Л. Лидов, анализируя эволюцию орбит искусственных спутников планет, получил интересные результаты и для естественных спутников. Им было впервые показано (1961), что, если бы орбита Луны имела наклон к плоскости эклиптики, равный 90°, то такая Луна уже после 55 оборотов, т. е. примерно через четыре года, упала на поверхность Земли. Наряду с разработкой теории высокой степени точности, но пригодной только: на сравнительно небольших интервалах: времени (сотни лет), в Н. м. ведутся также исследования движения тел Солнечной системы в космогонических масштабах времени, т. е. на протяжении сотен тысяч и миллионов лет. Попытки решить эту проблему долгое время не давали удовлетворительных результатов. Только появление быстродействующих вычислительных машин, произведших революцию в Н. м., позволило снова вернуться к решению этой фундаментальной задачи. В СССР и за рубежом разработаны эффективные методы построения аналитической теории движения больших планет, открывающие возможность изучения движения планет на весьма длительных промежутках времени.

В связи с разработкой космогонической гипотезы О. Ю. Шмидта в 40-х гг. в СССР были выполнены многочисленные исследования финальных движений в задаче трёх тел; полученные в этих работах результаты имеют значение на неограниченном интервале времени. В США (1965) численным методом изучена эволюция орбит пяти внешних планет на интервале времени в 120 000 лет. Самым интересным результатом этой работы явилось открытие либрации Плутона относительно Нептуна, благодаря которой минимальное расстояние между этими планетами не может быть меньше 18 астрономических единиц, хотя в проекции на плоскость эклиптики орбиты Плутона и Нептуна пересекаются. В СССР выполнена обширная работа (1967) по применению теории вековых возмущений Лагранжа - Брауэра к изучению эволюции орбиты Земли на протяжении миллионов лет. Эта работа имеет важное значение для понимания изменения климата Земли в различные геологические эпохи.

Начало 20 в. было отмечено значительным прогрессом в разработке математических методов Н. м. Этот прогресс был связан прежде всего с работами французского математика А. Пуанкаре, русского математика А. М. Ляпунова и финского астронома К. Сундмана. Последнему удалось решить общую задачу трёх тел с помощью бесконечных степенных сходящихся рядов. Однако ряды Сундмана оказались совершенно непригодными для практического использования из-за их крайне медленной сходимости. Сходимость рядов в Н. м. тесно связана с так называемой проблемой малых делителей. Математические трудности этой проблемы в значительной степени преодолены в работах математиков школы А. Н. Колмогорова.

Развитие Н. м. в СССР тесно связано с деятельностью двух научных центров, возникших непосредственно после Великой Октябрьской социалистической революции: Теоретической астрономии института АН СССР в Ленинграде и кафедры небесной механики Московского университета (см. Астрономический институт (См. Астрономический институт имени П. К. Штернберга): имени П. К. Штернберга). В этих двух центрах сложились ленинградская и московская школы, которые определили развитие Н. м. в СССР. В Ленинграде вопросы Н. м. разрабатывались главным образом в связи с такими практическими задачами, как составление астрономических ежегодников, вычисление эфемерид малых планет и др. В Москве доминирующее влияние на протяжении многих лет имели космогонические проблемы, а также астродинамика.

Среди иностранных научных учреждений, ведущих исследования в области Н. м., видное место занимают: Вашингтонская морская обсерватория, Гринвичская астрономическая обсерватория, Бюро долгот в Париже, Астрономический институт в Гейдельберге и др.

Релятивистская Н. м. В середине 20 в. в связи с повышением точности оптических наблюдений небесных тел, развитием новых методов наблюдений (наблюдения доплеровского смещения, радиолокация и лазерная локация) и возможностью проведения экспериментов в Н. м. при помощи космических зондов и искусственных спутников всё большее значение приобретает учёт релятивистских эффектов в движении тел Солнечной системы. Эти проблемы решаются релятивистской Н. м., опирающейся на общую теорию относительности Эйнштейна (см. Тяготение). Роль общей теории относительности для Н. м. не ограничивается учётом малых поправок к теориям движения небесных тел. С появлением общей теории относительности удалось дать объяснение явлению тяготения, и таким образом Н. м. как наука о гравитационном движении небесных тел по существу становится релятивистской.

Согласно основной идее общей теории относительности, свойства пространства событий реального мира определяются движением и распределением масс, а движение и распределение масс, в свою очередь, определяются метрикой пространства-времени (См. Метрика пространства-времени). Эта взаимосвязь находит своё отражение в уравнениях поля - нелинейных уравнениях с частными производными, определяющих метрику поля. В теории тяготения Ньютона уравнения движения (законы механики Ньютона) постулируются отдельно от уравнений поля (линейные уравнения Лапласа и Пуассона для ньютонова потенциала). В общей же теории относительности уравнения движения тел содержатся в уравнениях поля. Однако строгое решение уравнений поля, представляющее интерес для Н. м., и вид строгих уравнений движения задачи n тел, даже для n = 2, в общей теории относительности не получены. Лишь для n = 1 удалось найти строгие решения уравнений поля: решение Шварцшильда для сферически симметричного неподвижного тела и решение Керра, описывающее поле вращающегося тела сферической структуры. Для решения задачи n тел (n > 2) приходится прибегать к приближённым методам и искать решение в виде рядов по степеням малых параметров. Таким параметром в случае движения тел Солнечной системы часто служит отношение квадрата характеристической скорости орбитального движения тел к квадрату скорости света. Вследствие малости этого отношения (около 10-8) в уравнениях движения и их решениях достаточно для всех практических приложений учитывать лишь члены первой степени относительно этого параметра.

Релятивистские эффекты в движении больших планет Солнечной системы могут быть получены с достаточной точностью на основе решения Шварцшильда. Основным эффектом при этом является вековое смещение перигелиев планет. В решении Шварцшильда имеется также релятивистский вековой член в движении узла орбиты, но выделить этот эффект в явном виде из наблюдений не удаётся. Частично этот вековой член учитывается в радиолокационном эффекте при радиолокации Меркурия и Венеры с Земли (радиолокационный эффект состоит в дополнительном по сравнению с ньютоновским запаздыванием сигнала при возвращении его на Землю). Этот эффект подтвержден экспериментально. Релятивистские эффекты в движении малых планет и комет выявить достаточно уверенно пока не удаётся из-за отсутствия хорошо разработанной ньютоновской теории движения этих объектов и недостаточного количества точных наблюдений.

Релятивистские эффекты в движении Луны получаются на основе решения релятивистской задачи трёх тел и обусловлены главным образом действием Солнца. Они складываются из вековых движений узла и перигея орбиты Луны со скоростью 1,91" в столетие (геодезическая прецессия), а также из периодических возмущений в координатах Луны. Эти эффекты, по-видимому, смогут быть выявлены при лазерной локации Луны. Для усовершенствования теорий движения остальных естественных спутников планет достаточно к ньютоновой теории добавить релятивистские вековые члены в элементах орбит. Первая группа таких членов обусловлена шварцшильдовским смещением перицентра. Вторая группа - это вековые члены в долготе перицентра и узла, вызванные собственным вращением планеты. Наконец, движение планеты вокруг Солнца также приводит к вековым членам в этих элементах (геодезическая прецессия). Все эти члены для некоторых спутников могут достигать значительной величины (особенно для близких спутников Юпитера), но отсутствие точных наблюдений препятствует их обнаружению. Определение релятивистских эффектов в движении искусственных спутников Земли также не даёт положительных результатов из-за невозможности точного учёта влияния атмосферы и аномалий гравитационного поля Земли на их движение. Большой теоретический интерес представляют релятивистские поправки во вращательном движении небесных тел, однако, их обнаружение связано с ещё большими трудностями. Реальным представляется лишь выявление релятивистских эффектов при изучении прецессии гироскопов на Земле и на спутниках Земли.

Лит.: Брауэр Д., Клеменс Дж., Методы небесной механики, пер. с англ., М., 1964; Брумберг В. А., Релятивистская небесная механика, М., 1972; Гребеников Е. А., Рябов Ю. А., Новые качественные методы в небесной механике, М., 1971; Дубошин Г. Н., Небесная механика, 2 изд., М., 1968; Зигель К. Л., Лекции по небесной механике, пер. с нем., М., 1959; Пуанкаре А., Лекции по небесной механике, пер. с франц., М., 1965; его же, Новые методы небесной механики, Избр. труды, т. 1-2, М., 1971-72; Смарт У. М., Небесная механика, пер. с англ., М., 1965; Субботин М. Ф., Введение в теоретическую астрономию, М., 1968; Уинтнер А., Аналитические основы небесной механики, пер. с англ., М., 1967; Чеботарев Г. А., Аналитические и численные методы небесной механики, М. - Л., 1965; Шарлье К., Небесная механика, пер. с нем., М., 1966; Справочное руководство по небесной механике и астродинамике, М., 1971.

Г. А. Чеботарев.

Ньютона механика Искать примеры произношения

механика, в основе которой лежат Ньютона законы механики; то же, что классическая Механика.

Релятивистская механика Искать примеры произношения

раздел теоретической физики, рассматривающий классические законы движения тел (частиц) при скоростях движения v, сравнимых со скоростью света. Р. м. основана на теории относительности. Основные уравнения Р. м. - релятивистское обобщение второго закона Ньютона и релятивистский закон сохранения энергии-импульса - удовлетворяют требованиям принципа относительности Эйнштейна. Из них, в частности, следует, что скорость материальных объектов не может превышать скорости света в вакууме с. При v << с Р. м. переходит в классическую механику Ньютона. См. Относительности теория.

Статистическая механика Искать примеры произношения
Строительная механика Искать примеры произношения

наука о принципах и методах расчёта сооружений на прочность, жёсткость, устойчивость и колебания. Основные объекты изучения С. м. - плоские и пространственные стержневые системы (См. Стержневая система) и системы, состоящие из пластинок (См. Пластинки) и оболочек (См. Оболочка). При расчёте сооружений учитывается целый ряд воздействий, главными из которых являются статические и динамические нагрузки и изменения температуры. Цель расчёта состоит в определении внутренних усилий, возникающих в элементах системы, в установлении перемещений (См. Перемещения) её отдельных точек и выяснении условий устойчивости и колебаний системы. В соответствии с результатами расчёта устанавливаются размеры сечений отдельных элементов конструкций, необходимые для надёжной работы сооружения и обеспечивающие минимальные затраты материалов. Разрабатываемая в С. м. теория расчёта базируется на методах теоретической механики (См. Механика), сопротивления материалов (См. Сопротивление материалов), теорий упругости, пластичности и ползучести (см. Упругости теория, Пластичности теория. Ползучесть).

Иногда С. м. называется теорией сооружений, имея при этом в виду весь комплекс указанных выше дисциплин, которые в современной науке о прочности настолько тесно взаимосвязаны, что точное установление их границ затруднительно. Другое (теперь уже устаревшее) название С. м. - Статика сооружений - возникло в то время, когда в С. м. не включались вопросы динамического расчёта (см. Динамика сооружений).

Основные методы С. м. Для выполнения расчёта сооружения устанавливают его расчётную схему (См. Расчётная схема) (модель). С этой целью из реального сооружения мысленно удаляют элементы, воспринимающие только местные нагрузки и практически не участвующие в работе сооружения в целом, и получают идеализированную, упрощённую схему (как бы скелет) сооружения. Элементы сооружения на расчётной схеме условно изображаются в виде линий, плоскостей, а также некоторых кривых поверхностей. В соответствии с рассматриваемыми в С. м. системами сооружений различают расчётные схемы 3 видов: дискретные, состоящие из отдельных стержней или элементов, связанных между собой в узлах (фермы, рамы, арки); континуальные, состоящие, как правило, из одного непрерывного элемента (например, оболочки); дискретно-континуальные, содержащие наряду с континуальными частями также и отдельные стержни (например, оболочка, опирающаяся на колонны). В расчётах учитывается совместность (взаимосвязанность) деформаций всех элементов сооружения.

Встречающиеся на практике системы сооружений, в зависимости от методики их расчёта, подразделяют на 2 основных типа: статически определимые системы, которые могут быть рассчитаны с использованием только уравнений статики; статически неопределимые системы, для расчёта которых в дополнение к уравнениям статики составляются уравнения совместности деформаций.

При расчёте дискретных статически неопределимых систем (для которых справедлив принцип независимости действия сил) применяют 3 основных метода: метод сил, метод перемещений и смешанный. При расчёте по методу сил часть связей (см. Связи в конструкциях) в выбранной расчётной схеме сооружения "отбрасывается", с тем чтобы превратить заданную систему в статически определимую и геометрически неизменяемую (основную) систему. "Отброшенные" связи заменяют силами (т. н. лишними неизвестными), для определения которых составляют (исходя из условия тождественности деформаций основной и заданной систем) канонические уравнения. Найденные при решении этих уравнений лишние неизвестные "прикладываются" вместе с нагрузкой к основной системе как внешние силы, после чего определяются (методами сопротивления материалов) внутренние усилия в элементах системы и перемещения её отдельных точек. В отличие от метода сил, при методе перемещений основная система получается из данной путём наложения дополнительных (лишних) связей, с тем чтобы превратить её в сочетание элементов, деформации и усилия которых заранее изучены. За лишние неизвестные принимаются перемещения по направлению лишних связей. Для их определения составляется система уравнений, вытекающих из условия равенства нулю реакции в лишних связях. Смешанный метод представляет собой сочетание методов сил и перемещений; основная система образуется путём удаления одних и наложения др. связей. Поэтому лишними неизвестными являются и силы, и перемещения.

При расчёте континуальных статически неопределимых систем за неизвестные принимают функции перемещений или усилий, для определения которых составляют необходимые дифференциальные уравнения. В результате решения последних находят величины внутренних силовых факторов (усилий). Использование в расчётной практике ЭВМ позволяет применять для расчёта континуальных систем также и дискретные расчётные схемы. В этом случае континуальную систему разделяют на т. н. конечные элементы, которые соединяются между собой жёсткими или упругими связями. При расчёте систем с разделением их на конечные элементы применяется как метод сил, так и метод перемещений, причём, если выбор метода при расчёте традиционными способами связывался с количеством совместно решаемых уравнений, то с появлением ЭВМ предпочтение, как правило, отдаётся методу перемещений, позволяющему проще определять коэффициенты при неизвестных. Для определения перемещений упругих систем применяется формула Мора, полученная на базе основных теорем С. м., и, в частности, обобщённого принципа возможных (виртуальных) перемещений (см. Возможных перемещений принцип).

При учёте пластических деформаций материала задача становится физически нелинейной, т.к. в этом случае принцип независимости действия сил неприменим. Встречаются также геометрически нелинейные системы, при расчёте которых вследствие значительной величины перемещений необходимо учитывать изменения геометрии системы и смещение нагрузки в процессе деформации. При расчёте нелинейных систем обычно применяется метод последовательных приближений, причём в пределах каждого приближения система считается упругой.

Важной задачей С. м. является изучение условий устойчивости и колебаний сооружений. При расчётах на устойчивость применяются статические, энергетические и динамические методы, с помощью которых определяются критические параметры, характеризующие совокупность действующих сил. Величины критических параметров (в простейших случаях - критических сил) зависят от геометрии сооружения, особенностей нагрузок и воздействий, а также от констант, характеризующих деформативность материала. Наиболее сложными являются расчёты сооружений на устойчивость при действии динамических сил. Теория колебаний в С. м., помимо методов определения частот и форм колебаний сооружений, содержит разделы, посвященные вопросам гашения вибраций, принципам и методам виброизоляции.

Использование ЭВМ позволяет широко применять при решении задач современной С. м. методы линейной алгебры с матричной записью не только систем уравнений, но и всех вычислений, связанных с определением силовых факторов и перемещений, критических нагрузок и т.д. В связи с этим составляются специальные алгоритмы и программы с полной автоматизацией всех вычислительных процессов.

Историческая справка. На разных этапах развития С. м. методы расчёта сооружений в значительной степени определялись уровнем развития математики, механики и науки о сопротивлении материалов.

До конца 19 в. в С. м. применялись графические методы расчёта, и наука о расчёте сооружений носила название "графическая статика". В начале 20 в. графические методы стали уступать место более совершенным - аналитическим, и примерно с 30-х гг. графическими методами практически перестали пользоваться. Аналитические методы, зародившиеся в 18 - начале 19 вв. на основе работ Л. Эйлера, Я. Бернулли, Ж. Лагранжа и С. Пуассона, были недоступны инженерным кругам и поэтому не нашли должного практического применения. Период интенсивного развития аналитических методов наступил лишь во 2-й половине 19 в., когда в широких масштабах развернулось строительство железных дорог, мостов, крупных промышленных сооружений. Труды Дж. К. Максвелла, А. Кастильяно (Италия), Д. И. Журавского (См. Журавский) положили начало формированию С. м. как науки. Известный рус. учёный и инженер-строитель Л. Д. Проскуряков впервые (90-е гг.) ввёл понятие о линиях влияния и их применении при расчёте мостов на действие подвижной нагрузки. Приближённые методы расчёта арок были даны франц.узским учёным Брессом, а более точные методы разработаны Х. С. Головиным. Существенное влияние на развитие теории расчёта статически неопределимых систем оказали работы К. О. Мора, предложившего универсальный метод определения перемещений (формула Мора). Большое научное и практическое значение имели работы по динамике сооружений М. В. Остроградского (См. Остроградский), Дж. Рэлея (См. Рэлей), А. Сен-Венана. Благодаря исследованиям Ф. С. Ясинского (См. Ясинский), С. П. Тимошенко, А. Н. Динника, Н. В. Корноухова и др. значительное развитие получили методы расчёта сооружений на устойчивость. Крупные успехи в развитии всех разделов С. м. были достигнуты в СССР. Трудами сов. учёных А. Н. Крылова, И. Г. Бубнова, Б. Г. Галёркина, И. М. Рабиновича, И. П. Прокофьева, П. Ф. Папковича, А. А. Гвоздева, Н. С. Стрелецкого (См. Стрелецкий), В. З. Власова, Н. И. Безухова и др. были разработаны методы расчёта сооружений, получившие широкое распространение в проектной практике. В научных учреждениях и вузах СССР созданы и успешно развиваются новые научные направления в области С. м. Важным проблемам С. м. посвящены исследования В. В. Болотина (теория надёжности и статистические методы в С. м.), И. И. Гольденблата (динамика сооружений), А. Ф. Смирнова (устойчивость и колебания сооружений) и др.

Проблемы современной С. м. Одной из актуальных задач С. м. является дальнейшее развитие теории надёжности сооружений на основе использования статистических методов обработки данных о действующих нагрузках и их сочетаниях, о свойствах строительных материалов, а также о накоплении повреждений в сооружениях различных типов. Большое значение приобретают исследования по теории предельных состояний (См. Предельное состояние), имеющие целью переход к практическому расчёту сооружений на основе вероятностных методов. Важная задача С. м. - расчёт сооружений как единых пространственных систем, без расчленения их на отдельные конструктивные элементы (балки, рамы, колонны, плиты и т.д.); она связана с необходимостью использования тех запасов несущей способности сооружений, которые не могут быть выявлены при поэлементном расчёте. Такой подход позволяет получать более точную картину распределения внутренних усилий в сооружениях и обеспечивает существенную экономию материалов. Расчёт сооружений как единых пространственных систем требует дальнейшего развития метода конечных элементов; последний даёт возможность рассчитывать весьма сложные сооружения на действие статических, динамических (в т. ч. сейсмических) и др. нагрузок. Большой научный интерес представляют: разработка методов решения физически и геометрически нелинейных задач, которые более полно учитывают реальные условия работы сооружений; изучение вопросов оптимального проектирования строительных конструкций с использованием ЭВМ; проведение исследований, связанных с разработкой теории разрушения сооружений, в частности, вопросов их "живучести"), что особенно важно для строительства в районах, подверженных землетрясениям.

Лит.: Тимошенко С. П., История науки о сопротивлении материалов с краткими сведениями по истории теории упругости и теории сооружений, пер. с англ., М., 1957; Строительная механика в СССР. 1917-1967, М., 1969; Киселев В. А., Строительная механика, 2 изд., М., 1969; Снитко Н. К., Строительная механика, 2 изд., М., 1972; Болотин В. В., Гольденблат И. И., Смирнов А. Ф., Строительная механика, 2 изд., М., 1972.

Под редакцией А. Ф. Смирнова.

Механика сплошной среды Искать примеры произношения

раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей и деформируемых твёрдых тел. К М. с. с. относятся: Гидроаэромеханика, Газовая динамика, Упругости теория, Пластичности теория и др. Основное допущение М. с. с. состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную, сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех её характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц и др.). Это оправдывается тем, что размеры молекул ничтожно малы по сравнению с размерами частиц, которые рассматриваются при теоретических и экспериментальных исследованиях в М. с. с. Поэтому можно применить в М. с. с. хорошо разработанный для непрерывных функций аппарат высшей математики.

Исходными в М. с. с. при изучении любой среды являются: 1) уравнения движения или равновесия среды, получаемые как следствие основных законов механики, 2) уравнение неразрывности (сплошности) среды, являющееся следствием закона сохранения массы, 3) уравнение энергии. Особенности каждой конкретной среды учитываются т. н. уравнением состояния или реологическим уравнением (см. Реология), устанавливающим для данной среды вид зависимости между напряжениями или скоростями изменения напряжений и деформациями или скоростями деформаций частиц. Характеристики среды могут также зависеть от температуры и др. физико-химических параметров; вид таких зависимостей должен устанавливаться дополнительно. Кроме того, при решении каждой конкретной задачи должны задаваться начальные и граничные условия, вид которых тоже зависит от особенностей среды.

М. с. с. находит огромное число важных приложений в различных областях физики и техники.

Лит.: Ландау Л. Д. и Лифшиц Е. М., Механика сплошных сред, 2 изд., М., 1954 (Теоретическая физика); Седов Л. И., Механика сплошной среды, т. 1-2, М., 1973.

С. М. Тарг.

Механика сыпучих сред Искать примеры произношения

раздел механики сплошной среды (См. Механика сплошной среды), в котором исследуются равновесие и движение сыпучих сред (песчаных, глинистых и др. грунтов, зерна и т. д,). Задача М. с. с. - главным образом определение давления грунтов на опорные стенки, формы возможных поверхностей сползания откосов, вычисление необходимой глубины фундаментов, определение давления зерна на стены элеваторов, изучение волновых процессов в грунтах при динамических нагружениях и т. д. Одним из основных разделов М. с. с. является Механика грунтов.

Механика твёрдого тела Искать примеры произношения
("Меха́ника твёрдого те́ла", )

"Известия АН СССР. Механика твёрдого тела", научный журнал, орган Отделения механики и процессов управления АН СССР. Выходит в Москве с 1966. В 1966-68 назывался "Инженерный журнал. Механика твёрдого тела". С 1969 - "М. т. т.". Публикует теоретические и экспериментальные исследования в области механики недеформируемого твёрдого тела, деформируемой твёрдой среды, конструкций и их элементов. Освещает вопросы динамики системы материальных точек и абсолютно твёрдого тела; теории устойчивости движения и процессов управления движущимися объектами; теории гигроскопичных устройств; теории упругости, пластичности и ползучести; механики полимеров, грунтов и гетерогенных твёрдых сред; прочности материалов и конструкций и др. Тираж (1974) 1,6 тыс. экземпляров. Переиздаётся на английском языке в США.

Релятивистская квантовая механика Искать примеры произношения

раздел теоретической физики, в котором рассматриваются релятивистские (удовлетворяющие требованиям относительности теории (См. Относительности теория)) квантовые законы движения микрочастиц (электронов и др.) в т. н. одночастичном приближении. Релятивистские эффекты велики при энергиях частицы, сравнимых с её энергией покоя. При таких энергиях может происходить рождение частиц (реальных или виртуальных), поэтому рассмотрение одной частицы в общем случае неправомерно. Последовательное описание свойств релятивистских квантовых частиц возможно только в рамках квантовой теории поля (См. Квантовая теория поля). Однако в некоторых задачах, в которых релятивистские эффекты существенны, образование частиц можно не учитывать и использовать волновые уравнения, описывающие движение одной частицы (одночастичное приближение). Так находят, например, релятивистские поправки к атомным уровням энергии (Тонкая структура). Такой подход является логически незамкнутым, поэтому Р. к. м., в которой рассматриваются задачи этого типа, в отличие от релятивистской квантовой теории поля и нерелятивистской квантовой механики (См. Квантовая механика), не существует как последовательная теория. Основой расчётов в Р. к. м. служат релятивистские обобщения Шрёдингера уравнения (См. Шрёдингера уравнение): Дирака уравнение для электронов и др. частиц со Спином ħ/2 (где ħ - постоянная Планка) и Клейна - Гордона уравнение для частиц со спином 0.

И. Ю. Кобзарев.



Словари, в которых найден искомый текст:
 Большая советская энциклопедия (23)
 Толковый словарь Ефремовой (1)
 Словарь иностранных слов (1)
 Современный толковый словарь (11)
 Толковый словарь русского языка Ушакова (1)
 Кольер (5)
 Толковый словарь живого великорусского языка В.Даля (1)
 Словарь Ожегова (1)
 Энциклопедия Брокгауза и Ефрона (1)


Примеры употребления слова "МЕХАНИКА" в русскоязычной прессе:

1.   Затем были "Фокусник", "Городской романс", "Последняя жертва", "Любимая женщина механика Гаврилова", "Военно-полевой роман", "Анкор, еще анкор!", "Какая чудная игра", "В созвездии быка". (Газета, 2005-06-01)

2.   Многие ситуации порой выглядят безвыходными, но если не бездействовать, а бороться за свои права, все-таки можно добиться справедливости. В ноябре прошлого года в статье "Кооперативная пирамида для одного механика" мы писали о том, как доверчивые и юридически неподкованные люди становятся жертвами жилищных кооперативов. (Московская правда, 2005-06-03)

3.   Секс-механика С подачи сестер Берман американское Управление по санитарному надзору разрешило продавать разработанное в штате Миннесота "устройство клиторальной терапии". (Комсомольская правда, 2005-06-04)

4.   Хорошо еще, что вместе с коллегой распределили, его - на должность мастера-механика. - И попадаете вы с ним в коллектив опытных, немало повидавших работяг! (Собеседник, 2005-06-08)

5.   Долго потом мы механика того искали. А генерал впоследствии погиб из- за своего лихачества… О чем напоминает Махову визитка космонавта? (Трибуна, 2005-06-09)

Еще примеры >>

Недвижимость в Испании
Еще>>