Что (кто) такое Тензор - определение

Те́нзор (от лат. tensus, «напряжённый») — применяемый в математике и физике объект линейной алгебры, заданный на векторном пространстве ${\displaystyle V}$ конечной размерности ${\displaystyle n}$. В физике в качестве ${\displaystyle V}$ обычно выступает физическое трёхмерное пространство или четырёхмерное пространство-время, а компонентами тензора являются координаты взаимосвязанных физических величин.

Использование тензоров в физике позволяет глубже понять физические законы и уравнения, упростить их запись за счет сведения многих связанных физических величин в один тензор, а также записывать уравнения в форме, не зависящей от выбранной системы отсчета.

Тензоры различаются по типу, который определяется парой натуральных чисел ${\displaystyle (s,r)}$, где ${\displaystyle s}$ — контравариантный, а ${\displaystyle r}$ — ковариантный ранг (и говорят ${\displaystyle s}$ раз контравариантный и ${\displaystyle r}$ раз ковариантный тензор), а сумма ${\displaystyle s+r}$ называется просто рангом тензора.

Тензоры типа ${\displaystyle (s,r)}$ — это векторы линейного пространства, полилинейно связанного с пространством ${\displaystyle V}$ и обозначаемого ${\displaystyle \otimes _{r}^{s}V}$ или ${\displaystyle T_{r}^{s}(V)}$. Размерность ${\displaystyle \otimes _{r}^{s}V}$ равна числу компонент тензора, а сами компоненты представляют собой координаты тензора в ${\displaystyle \otimes _{r}^{s}V}$ в базисе, «привязанном» к базису пространства ${\displaystyle V}$. Ранг тензора вместе с размерностью пространства ${\displaystyle V}$ определяют количество компонент тензора ${\displaystyle n^{s+r}}$, а ковариантный и контравариантный ранг — характер их зависимости от базиса в пространстве ${\displaystyle V}$.

Именно полилинейная связь между ${\displaystyle V}$ и ${\displaystyle \otimes _{r}^{s}V}$ позволяет идентифицировать векторы из ${\displaystyle \otimes _{r}^{s}V}$ как тензоры на ${\displaystyle V}$, а не просто векторы некоторого пространства, так как при замене базиса в ${\displaystyle V}$, также меняется базис в ${\displaystyle \otimes _{r}^{s}V}$ и координаты тензора как вектора этого пространства. Поэтому говорят о координатном представлении тензора в базисе пространства ${\displaystyle V}$. Несмотря на изменения компонент тензора при смене базиса, тензоры, как алгебраические и геометрические объекты, от базиса не зависят — одному и тому же объекту могут соответствовать разные наборы координат в разных базисах.

Компоненты тензора при фиксированном базисе ${\displaystyle V}$ можно структурировать в виде ${\displaystyle (s+r)}$-мерной таблицы ${\displaystyle n\times n\times \cdots \times n}$. При ранге 0 таблица представляет собой одно число, при ранге 1 — упорядоченный набор (вектор-столбец или вектор-строка), при ранге 2 — квадратную матрицу, при ранге 3 — трёхмерный куб и т. д. В общем случае визуальное представление для больших рангов затруднительно.

Таким образом, тензоры типа (1,0) — это векторы пространства ${\displaystyle V}$, (0,1) — линейные функционалы (ковекторы) на ${\displaystyle V}$, образующие сопряженное пространство ${\displaystyle V^{*}}$ той же размерности. Тензоры 2 ранга — это тензоры типа (0,2) (билинейные формы), (1,1) (линейные операторы) и (2,0). К тензорам (ранга 0) относятся также скаляры — элементы поля, на котором задано пространство ${\displaystyle V}$ (обычно это действительные или комплексные числа). Скаляры не изменяются (инвариантны) при смене базиса.

Компоненты тензора типа ${\displaystyle (s,r)}$ записываются с помощью ${\displaystyle s}$ верхних (контравариантных) и ${\displaystyle r}$ нижних (ковариантных) индексов: ${\displaystyle T_{j_{1}j_{2}\dots j_{r}}^{i_{1}i_{2}\dots i_{s}}}$. Например, векторы в тензорном обозначении записываются с одним верхним индексом ${\displaystyle x^{i}}$, линейные операторы — с нижним и верхним индексами: ${\displaystyle a_{j}^{i}}$, билинейные формы (дважды ковариантные тензоры) — с двумя нижними индексами ${\displaystyle F_{ij}}$. Тензор типа ${\displaystyle (1,3)}$ (например, тензор кривизны Римана) будет записан как ${\displaystyle R_{jkl}^{i}}$.

В приложениях часто применяются тензорные поля, которые сопоставляют различным точкам пространства разные тензоры (например, тензор напряжений внутри объекта). Тем не менее, часто их упрощенно тоже называют тензорами.

Тензоры были популяризованы в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро, которые продолжили более ранние работы Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля. Слово «тензор» придумал немецкий физик В. Фогт в 1898 году.